Question

已知圓的方程為，定直線的方程為．動(dòng)圓與圓外切，且與直線相切．

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（2）直線與軌跡相切于第一象限的點(diǎn), 過點(diǎn)作直線的垂線恰好經(jīng)過點(diǎn)，并交軌跡于異于點(diǎn)的點(diǎn)，求直線的方程及的長.

 

Answer 1

（1）；（2）直線PQ的方程：x+y-6=0，|PQ|=.

【解析】

試題分析：(1)設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)題意可以得到關(guān)于x，y的方程組，消去參數(shù)以后即可得到x，y所滿足的關(guān)系式，即圓心C的軌跡M的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，根據(jù)題意可以把l’用含x0的代數(shù)式表示出來，由經(jīng)過點(diǎn)A(0,6)可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)與l’的方程，再聯(lián)立(1)中M的軌跡方程，即可求出Q的坐標(biāo)，從而得到|PQ|d的長.

（1）設(shè)動(dòng)圓圓心C的坐標(biāo)為(x,y)，動(dòng)圓半徑為R，則 ，且

|y+1|=R 2分，可得．

由于圓C1在直線l的上方，所以動(dòng)圓C的圓心C應(yīng)該在直線l的上方，所以有y+1>0，從而得，整理得，即為動(dòng)圓圓心C的軌跡M的方程． 5分

（2）如圖示，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則切線的斜率為，可得直線PQ的斜率為，所以直線PQ的方程為．由于該直線經(jīng)過點(diǎn)A（0,6），所以有，得．因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，所以，點(diǎn)P坐標(biāo)為（4,2），直線PQ的方程為x+y-6=0． 9分

把直線PQ的方程與軌跡M的方程聯(lián)立得，解得x=-12或4

12分