Question

已知點(diǎn)A（0，2），橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，直線AF的斜率為-

2 3

3

，以焦點(diǎn)F和短軸兩端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形周長(zhǎng)為6，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程
（2）設(shè)過點(diǎn)A的定直線l與C交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積為1時(shí)，求定直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）運(yùn)用斜率公式，求出c，再由周長(zhǎng)為6，得到a+b=3，再由a，b，c的關(guān)系式，解方程，即可得到a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+2，聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，以及弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式，再由三角形的面積公式，列出方程，解出k，即可得到直線方程．

解答： 解：（1）設(shè)右焦點(diǎn)為F（c，0），由于直線AF的斜率為-

2 3

3

，
即有

2

-c

=-

2 3

3

，解得，c=

3

，則a²-b²=c²=3，
又以焦點(diǎn)F和短軸兩端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形周長(zhǎng)為6，
則2a+2b=6，即有a+b=3，則a+b=1，解得a=2，b=1．
則橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）設(shè)直線l：y=kx+2，聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到
（1+4k²）x²+16kx+12=0，
則有△＞0，即（16k）²-48（1+4k²）＞0，①
x₁+x₂=-

16k

1+4k2

，x₁x₂=

12

1+4k2

，
弦長(zhǎng)|PQ|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( -16k 1+4k2 )2- 48 1+4k2

=

1+k2

•

64k2-48

1+4k2

，
O到直線l的距離為d=

2

1+k2

，
則有△OPQ的面積為

1

2

d•|PQ|=

64k2-48

1+4k2

=1，
解得，k²=

7

4

，即有k=±

7

2

，代入①，檢驗(yàn)成立．
故直線l的方程為：y=±

7

2

x+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．