Question

若

C

2 3

+

C

2 4

+C

2 5

+…+

C

2 n

=363，則自然數(shù)n=（　�。�

A．11

B．12

C．13

D．14

Answer 1

分析：根據(jù)題意，現(xiàn)將原等式變形為C₃³+C₃²+C₄²+C₅²+…+C_n²=364，再利用組合數(shù)的性質(zhì)C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m，可得

C

3 3

+C₃²+C₄²+C₅²+…+C_n²=C_n+1³，則原等式可化為C_n+1³=364，解可得答案．

解答：解：由C₃²+C₄²+C₅²+…+C_n²=363，
則1+C₃²+C₄²+C₅²+…+C_n²=364，即C₃³+C₃²+C₄²+C₅²+…+C_n²=364，
又由C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m，則

C

3 3

+C₃²+C₄²+C₅²+…+C_n²=C₄³+C₄²+C₅²+…+C_n²=C₅³+C₅²+C₆²+…+C_n²=C_n+1³，
原式可變形為C_n+1³=364，
化簡可得

(n+1)n(n-1)

3×2×1

=364，
又由n是正整數(shù)，解得n=13，
故選C．

點評：本題考查組合數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵在于利用C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m，將原式變形，需注意C_n+1³=364的解法，是基礎題．