已知動點P到定直線l:x=2的距離與點P到定點F之比為
(1)求動點P的軌跡c的方程;
(2)若點N為軌跡C上任意一點(不在x軸上),過原點O作直線AB交(1)中軌跡C于點A、B,且直線AN、BN的斜率都存在,分別為k1、k2,問k1•k2是否為定值?
(3)若點M為圓O:x2+y2=4上任意一點(不在x軸上),過M作圓O的切線,交直線l于點Q,問MF與OQ是否始終保持垂直關(guān)系?
【答案】分析:(1)設(shè)出點P,利用兩點間的距離公式分別表示出P到定直線的距離和到點F的距離的比,建立方程求得x和y的關(guān)系式,即P的軌跡方程.
(2)設(shè)出N,A,則B的坐標可知,代入圓錐曲線的方程相減后,可求得k1•k2=-,證明原式.
(3)設(shè)M(x,y),則可表示出切線方程,與x=2聯(lián)立求得Q的坐標表達式,則可分別表示出,進而利用向量的運算法則求得結(jié)果為0,判斷出
解答:解:(1)設(shè)點P(x,y),依題意,有

整理,得
所以動點P的軌跡C的方程為

(2)由題意:設(shè)N(x1,y1),A(x2,y2),
則B(-x2,-y2,
k1•k2==
=為定值.

(3)M(x,y),則切線MQ的方程為:xx+yy=4
得Q
=
=
所以:即MF與OQ始終保持垂直關(guān)系
點評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系.當涉及直線的斜率的時候,點差法是常用的方法,能把直線的斜率和曲線方程,交點坐標,交點的中點坐標等向聯(lián)系.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知動點P到定直線l:x=2
2
的距離與點P到定點F(
2
,0)
之比為
2

(1)求動點P的軌跡c的方程;
(2)若點N為軌跡C上任意一點(不在x軸上),過原點O作直線AB交(1)中軌跡C于點A、B,且直線AN、BN的斜率都存在,分別為k1、k2,問k1•k2是否為定值?
(3)若點M為圓O:x2+y2=4上任意一點(不在x軸上),過M作圓O的切線,交直線l于點Q,問MF與OQ是否始終保持垂直關(guān)系?

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知動點P到定直線l:x=2
2
的距離與點P到定點F(
2
,0)
之比為
2

(1)求動點P的軌跡c的方程;
(2)若點N為軌跡C上任意一點(不在x軸上),過原點O作直線AB交(1)中軌跡C于點A、B,且直線AN、BN的斜率都存在,分別為k1、k2,問k1•k2是否為定值?
(3)若點M為圓O:x2+y2=4上任意一點(不在x軸上),過M作圓O的切線,交直線l于點Q,問MF與OQ是否始終保持垂直關(guān)系?

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科目:高中數(shù)學 來源:2010年江蘇省高考數(shù)學模擬試卷(解析版) 題型:解答題

已知動點P到定直線l:x=2的距離與點P到定點F之比為
(1)求動點P的軌跡c的方程;
(2)若點N為軌跡C上任意一點(不在x軸上),過原點O作直線AB交(1)中軌跡C于點A、B,且直線AN、BN的斜率都存在,分別為k1、k2,問k1•k2是否為定值?
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科目:高中數(shù)學 來源:2011年江蘇省無錫市錫山區(qū)羊尖高級中學高考數(shù)學模擬試卷(數(shù)學)(解析版) 題型:解答題

已知動點P到定直線l:x=2的距離與點P到定點F之比為
(1)求動點P的軌跡c的方程;
(2)若點N為軌跡C上任意一點(不在x軸上),過原點O作直線AB交(1)中軌跡C于點A、B,且直線AN、BN的斜率都存在,分別為k1、k2,問k1•k2是否為定值?
(3)若點M為圓O:x2+y2=4上任意一點(不在x軸上),過M作圓O的切線,交直線l于點Q,問MF與OQ是否始終保持垂直關(guān)系?

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