Question

20．某幾何體直觀圖與三視圖如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA垂直⊙O的直徑，PA垂直⊙O所在的平面，C為圓周上一點．
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）若三棱錐B-PAC的體積為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求銳二面角C-PB-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明BC⊥平面PAC；
（2）若三棱錐B-PAC的體積為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，根據(jù)條件公式求出PA=2，利用二面角的定義作出二面角的平面角即可求銳二面角C-PB-A的余弦值．

解答 證明：（1）∵AB是圓的直徑，
∴BC⊥AC，
∵PA垂直⊙O所在的平面，∴PA⊥BC，
∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC
（2）由三視圖可知，過CE⊥AB，
則E是AO的中點，
且直徑AB=$\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$，AE=$\frac{1}{2}$，
則CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
若三棱錐B-PAC的體積為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$•PA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
得PA=2，
∵E是AO的中點，CE⊥AB，
∴CE⊥平面PAB，
過E作EF⊥PB于F，連接CF，
則CF⊥PB，
則∠CFE是銳二面角C-PB-A的平面角，
∵PA=AB=2，
∴△PAB是等腰直角三角形，
則∠PBA=45°，
∵BE=$\frac{3}{2}$，∴EF=BEsin45°=$\frac{3}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
則CF=$\sqrt{C{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{2}}{4}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{18}{16}}$=$\frac{\sqrt{30}}{4}$，
則cos∠CFE=$\frac{EF}{CF}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{30}}{4}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
即銳二面角C-PB-A的余弦值$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題主要考查線面垂直的判定以及三棱錐體積的計算，二面角的求解，根據(jù)線面垂直的判定定理以及棱錐的體積求出PA的值是解決本題的關(guān)鍵．