Question

11．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線交C于A，B且$\overrightarrow{FA}$=2$\overrightarrow{BF}$，則△OAB的面積為（　�。�

• A． 4
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由題意設(shè)直線AB方程為x=my+1，代入拋物線方程，由$\overrightarrow{FA}$=2$\overrightarrow{BF}$，則y₁=-2y₂，求得m的值，由|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=3$\sqrt{2}$，S_△OAB=$\frac{1}{2}$丨OF丨•|y₁-y₂|=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：∵拋物線y²=4x，∴焦點(diǎn)F（1，0）
設(shè)直線AB方程為x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x得y²-4my-4=0．
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4． ①
∵$\overrightarrow{FA}$=2$\overrightarrow{BF}$，
∴y₁=-2y₂，②
聯(lián)立①和②，消去y₁，y₂，
解得：m=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=3$\sqrt{2}$．
∵S_△OAB=$\frac{1}{2}$丨OF丨•|y₁-y₂|=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式及三角形的面積公式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．