Question

如果關(guān)于x的方程

|x|

x+4

=kx2有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A．(0，

  1

  4

  )
• B．(

  1

  4

  ，1)
• C．（1，+∞）
• D．(

  1

  4

  ，+∞)

Answer 1

分析：由于方程帶有絕對(duì)值，故需要分x=0，x＜0，x＞0三類去掉絕對(duì)值，在每一類中再依據(jù)參數(shù)k值的不同，找出滿足方程解的個(gè)數(shù)，最后綜合三類情況即可得到方程

|x|

x+4

=kx2有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解的參數(shù)的范圍．

解答：解：方程

|x|

x+4

=kx2①
（1）由方程的形式可以看出，x=0恒為方程①的一個(gè)解
（2）當(dāng)x＜0且x≠-2時(shí)方程①有解，則

-x

x+4

=kx2即kx²+4kx+1=0
當(dāng)k=0時(shí)，方程kx²+4kx+1=0無解；
當(dāng)k≠0時(shí)，△=16k²-4k≥0即k＜0或k≥

1

4

時(shí)，方程kx²+4kx+1=0有解．
設(shè)方程kx²+4kx+1=0的兩個(gè)根分別是x₁，x₂則x₁+x₂=-4，x₁x₂=

1

k

．
當(dāng)k＞

1

4

時(shí)，方程kx²+4kx+1=0有兩個(gè)不等的負(fù)根；
當(dāng)k=

1

4

時(shí)，方程kx²+4kx+1=0有兩個(gè)相等的負(fù)根；
當(dāng)k＜0時(shí)，方程kx²+4kx+1=0有一個(gè)負(fù)根．
（3）當(dāng)x＞0時(shí)，方程①有解，則

x

x+4

=kx2，kx²+4kx-1=0
當(dāng)k=0時(shí)，方程kx²+4kx-1=0無解；
當(dāng)k≠0時(shí)，△=16k²+4k≥0即k＞0或k≤-

1

4

時(shí)，方程kx²+4kx-1=0有解．
設(shè)方程kx²+4kx-1=0的兩個(gè)根分別是x₃，x₄
∴x₃+x₄=-4，x₃x₄=-

1

k

．
∴當(dāng)k＞0時(shí)，方程kx²+4kx-1=0有一個(gè)正根，
當(dāng)k≤-

1

4

時(shí)，方程kx²+4kx+1=0沒有正根
綜上可得，當(dāng)k∈（

1

4

，+∞）時(shí)，方程

|x|

x+4

=kx2有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由方程有四個(gè)解來求參數(shù)的范圍，對(duì)思維的嚴(yán)密性要求很高，需要熟練運(yùn)用分類討論的思想，因?yàn)轭}目中有太多的不確定性，本題難度較大．