【題目】如圖在四棱錐中,底面為矩形,,,平面平面,為等腰直角三角形,且,為底面的中心.

(1)求異面直線所成角的余弦值;

(2)若中點,在棱上,若,,且二面角的正弦值為,求實數(shù)的值.

【答案】1.(2.

【解析】

1)根據(jù)面,,得到,以為原點建立空間直角坐標系,得到,的坐標,根據(jù)向量夾角公式,得到異面直線所成角的余弦值;(2)設(shè),從而得到點坐標,結(jié)合(1)取平面的法向量,求出平面的法向量為,通過法向量表示出二面角的余弦值,根據(jù)其正弦值為,列出關(guān)于的方程,求出的值.

(1)∵為等腰直角三角形,

,

∵面

,

∵底面為矩形, 所以,三條線兩兩垂直.

為原點,,分別為,軸建立空間直角坐標系,

,,,

,,

所以異面直線所成角的余弦值為.

(2)結(jié)合(1)知,

取平面的法向量.

,,

,∴,

設(shè)平面的法向量為

,

,即

,得

又因為二面角的正弦值為,

所以

,

解得.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】自貢農(nóng)科所實地考察,研究發(fā)現(xiàn)某貧困村適合種植,兩種藥材,可以通過種植這兩種藥材脫貧.通過大量考察研究得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù):藥材的畝產(chǎn)量約為300公斤,其收購價格處于上漲趨勢,最近五年的價格如下表:

編號

1

2

3

4

5

年份

2015

2016

2017

2018

2019

單價(元/公斤)

18

20

23

25

29

藥材的收購價格始終為20/公斤,其畝產(chǎn)量的頻率分布直方圖如下:

1)若藥材的單價(單位:元/公斤)與年份編號具有線性相關(guān)關(guān)系,請求出關(guān)于的回歸直線方程,并估計2020年藥材的單價;

2)用上述頻率分布直方圖估計藥材的平均畝產(chǎn)量,若不考慮其他因素,試判斷2020年該村應(yīng)種植藥材還是藥材?并說明理由.

參考公式:(回歸方程中)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設(shè)拋物線的焦點為,過且斜率為的直線交于兩點,

(1)求的方程;

(2)求過點,且與的準線相切的圓的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)若上單調(diào)遞減,求的取值范圍;

(2)若處取得極值,判斷當時,存在幾條切線與直線平行,請說明理由;

(3)若有兩個極值點,求證:.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓C)的焦距為4,其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形.

1)求橢圓C的標準方程;

2)設(shè)F為橢圓C的左焦點,T為直線上任意一點,過FTF的垂線交橢圓C于點PQ.

i)證明:OT平分線段PQ(其中O為坐標原點);

ii)當最小時,求點T的坐標.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在單位正方體中,點P在線段上運動,給出以下四個命題:

異面直線間的距離為定值;

三棱錐的體積為定值;

異面直線與直線所成的角為定值;

二面角的大小為定值.

其中真命題有( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,點的極坐標為.

(1)求的直角坐標方程和的直角坐標;

(2)設(shè)交于,兩點,線段的中點為,求.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】影響消費水平的原因很多,其中重要的一項是工資收入.研究這兩個變量的關(guān)系的一個方法是通過隨機抽樣的方法,在一定范圍內(nèi)收集被調(diào)查者的工資收入和他們的消費狀況.下面的數(shù)據(jù)是某機構(gòu)收集的某一年內(nèi)上海、江蘇、浙江、安徽、福建五個地區(qū)的職工平均工資與城鎮(zhèn)居民消費水平(單位:萬元).

地區(qū)

上海

江蘇

浙江

安徽

福建

職工平均工資

9.8

6.9

6.4

6.2

5.6

城鎮(zhèn)居民消費水平

6.6

4.6

4.4

3.9

3.8

(1)利用江蘇、浙江、安徽三個地區(qū)的職工平均工資和他們的消費水平,求出線性回歸方程,其中;

(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過1萬,則認為得到的線性回歸方程是可靠的,試問所得的線性回歸方程是否可靠?(的結(jié)果保留兩位小數(shù))

(參考數(shù)據(jù):,

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】隨著社會的進步,經(jīng)濟的發(fā)展,道路上的汽車越來越多,隨之而來的交通事故也增多.據(jù)有關(guān)部門調(diào)查,發(fā)生車禍的駕駛員中尤其是21 歲以下年輕人所占比例居高,因此交通管理有關(guān)部門,對2018 年參加駕照考試的21 歲以下學員隨機抽取10 名學員,對他們參加的科目三(道路駕駛)和科目四(安全文明駕駛相關(guān)知識)進行兩輪現(xiàn)場測試,并把兩輪測試成績的平均分作為該名學員的抽測成績.記錄的數(shù)據(jù)如下:

(1)從2018年參加駕照考試的21歲以下學員中隨機選取一名學員,試估計這名學員抽測成績大于或等于90分的概率;

(2)根據(jù)規(guī)定,科目三和科目四測試成績均達到90分以上(含90)才算測試合格.

(i)從抽測的1號至5號學員中任取兩名學員,記為學員測試合格的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望

(ii) 記抽取的10名學員科目三和科目四測試成績的方差分別為,,試比較的大小.

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