Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax（a∈R），函數(shù)g（x）=㏑x．
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最小值；
（2）若在區(qū)間[1，2]上f（x）的圖象恒在g（x）的圖象的上方（沒有公共點(diǎn)），求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a＞0時，設(shè)h（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]．求h（x）的最大值F（a）的解析式．

Answer 1

解：（1）∵f'（x）=3x²-3=0，∴x=±1
∵f（-2）=-2，f（2）=2，f（1）=-2
∴函數(shù)的最小值為f（x）_min=-2
（2）∵在區(qū)間[1，2]上f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方
∴x³-3ax≥lnx在[1，2]上恒成立得 在[1，2]上恒成立
設(shè)h（x）=則
∵2x³-1≥0，lnx≥0
∴h'（x）≥0
∴h（x）_min=h（1）=1
∴
（3）因g（x）=|f（x）|=|x³-3ax|在[-1，1]上是偶函數(shù)，故只要求在[0，1]上的最大值
①當(dāng)a≤0時，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增且f（0）=0，∴g（x）=f（x）F（a）=f（1）=1-3a．
②當(dāng)a＞0時，，（�。┊�(dāng) g（x）=|f（x）|=-f（x），-f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，此時F（a）=-f（1）=3a-1
（ⅱ）當(dāng) 時，，在 單調(diào)遞增；
1°當(dāng) 時，，；
2°當(dāng)
（ⅰ）當(dāng)
（ⅱ）當(dāng) （1）-2
∴F（a）=
分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再通過列表得出導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與單調(diào)性的規(guī)律，得出函數(shù)在區(qū)間[-2，2]上的最小值為f（-2）和f（1）中的較小的函數(shù)值；
（2）轉(zhuǎn)化為不等式 在區(qū)間[1，2]上恒成立，變成求右邊函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的最小值問題，通過討論導(dǎo)數(shù)的符號，得到3a≤1，從而求得a的取值范圍；
（3）首先發(fā)現(xiàn)函數(shù)h（x）為偶函數(shù)，故只需求h（x）在[0，1]上的最大值．然后根據(jù)參數(shù)a的取值范圍，分別討論函數(shù)h（x）在區(qū)間[0，1]上的單調(diào)性，從而得到函數(shù)h（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值F（a）的解析式．
點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查利函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，用導(dǎo)數(shù)工具討論函數(shù)的單調(diào)性，是求函數(shù)的值域和最值的常用方法．本題還考查了分類討論思想在函數(shù)題中的應(yīng)用，同學(xué)們在做題的同時，可以根據(jù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的草圖來加深對題意的理解．