購買某種保險,每個投保人每年度向保險公司交納保費a元,若投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險,則可以獲得10 000元的賠償金.假定在一年度內(nèi)有10 000人購買了這種保險,且各投保人是否出險相互獨立.已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10 000元的概率為1-0.999104
(Ⅰ)求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率p;
(Ⅱ)設保險公司開辦該項險種業(yè)務除賠償金外的成本為50 000元,為保證盈利的期望不小于0,求每位投保人應交納的最低保費(單位:元).
分析:(1)由題意知各投保人是否出險互相獨立,且出險的概率都是p,記投保的10000人中出險的人數(shù)為ξ,由題意知ξ服從二項分布一投保人在一年度內(nèi)出險的對立事件是沒有一個人出險.
(2)寫出本險種的收入和支出,表示出它的盈利期望,根據(jù)為保證盈利的期望不小于0,列出不等式,解出每位投保人應交納的最低保費.
解答:解:由題意知
各投保人是否出險互相獨立,且出險的概率都是p,
記投保的10000人中出險的人數(shù)為ξ,
由題意知ξ~B(104,p).
(Ⅰ)記A表示事件:保險公司為該險種至少支付10000元賠償金,
.
A
發(fā)生當且僅當ξ=0,
P(A)=1-P(
.
A
)
=1-P(ξ=0)=1-(1-p)104
又P(A)=1-0.999104,
故p=0.001.
(Ⅱ)該險種總收入為10000a元,支出是賠償金總額與成本的和.
支出10000ξ+50000,
盈利η=10000a-(10000ξ+50000),
盈利的期望為Eη=10000a-10000Eξ-50000,
由ξ~B(104,10-3)知,
Eξ=10000×10-3,
Eη=104a-104Eξ-5×104=104a-104×104×10-3-5×104
Eη≥0?104a-104×10-5×104≥0?a-10-5≥0?a≥15(元).
∴每位投保人應交納的最低保費為15元.
點評:解決離散型隨機變量分布列問題時,主要依據(jù)概率的有關(guān)概念和運算,同時還要注意題目中離散型隨機變量服從什么分布,若服從特殊的分布則運算要簡單的多.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(本小題滿分12分)

購買某種保險,每個投保人每年度向保險公司交納保費元,若投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險,則可以獲得10 000元的賠償金.假定在一年度內(nèi)有10 000人購買了這種保險,且各投保人是否出險相互獨立.已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10 000元的概率為。

(Ⅰ)求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率;

(Ⅱ)設保險公司開辦該項險種業(yè)務除賠償金外的成本為50 000元,為保證盈利的期望不小于0,求每位投保人應交納的最低保費(單位:元)。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(全國Ⅱ卷理18)購買某種保險,每個投保人每年度向保險公司交納保費元,若投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險,則可以獲得10 000元的賠償金.假定在一年度內(nèi)有10 000人購買了這種保險,且各投保人是否出險相互獨立.已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10 000元的概率為

(Ⅰ)求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率;

(Ⅱ)設保險公司開辦該項險種業(yè)務除賠償金外的成本為50 000元,為保證盈利的期望不小于0,求每位投保人應交納的最低保費(單位:元).

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