Question

在△ABC中，已知∠ABC=45°，AB=

5 6

2

，D是BC邊上的一點(diǎn)，AD=5，DC=3，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：在△ABD中，由正弦定理得，可得sin∠ADB=

ABsinB

AD

=

3

2

，所以∠ADB=

π

3

或

2π

3

，然后分∠ADB=

π

3

與∠ADB=

2π

3

兩種情況加以討論，分別在△ADC中用余弦定理可得AC²的值，從而得到AC長(zhǎng)為7或

19

．

解答：解：在△ABD中，由正弦定理得，

AD

sin∠B

=

AB

sin∠ADB

∴sin∠ADB=

ABsinB

AD

=

5 6 2 •sin π 4

5

=

3

2

又∵∠ADB∈（0，π），∴∠ADB=

π

3

或

2π

3

，
①若∠ADB=

π

3

，則∠ADC=

2π

3

，
在△ADC中，由余弦定理得AC²=AD²+DC²-2AD•DCcos∠ADC=49
∴AC=7，
②若∠ADB=

2π

3

，則∠ADC=

π

3

，
在△ADC中，由余弦定理得AC²=AD²+DC²-2AD•DCcos∠ADC=19，
∴AC=

19

綜上所述，AC長(zhǎng)為7或

19

點(diǎn)評(píng)：本題在△ABC中，給出∠B的度數(shù)和邊AB長(zhǎng)，BC邊上的一點(diǎn)D到A、C兩點(diǎn)的距離分別為5和3，求AC的長(zhǎng)．著重考查了正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用，屬于中檔題．