Question

已知函數(shù)．
（1）設(shè)是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值并討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：＞．

Answer 1

（1）函數(shù) 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）見解析.

試題分析：（1）根據(jù)是的極值點(diǎn)得，可得導(dǎo)函數(shù)值為0，即，求得．進(jìn)一步討論導(dǎo)函數(shù)為正、負(fù)的區(qū)間，即得解；
（2）可以有兩種思路，一種是注意到當(dāng)，時(shí)，，
轉(zhuǎn)化成證明當(dāng)時(shí)，＞．
研究函數(shù)當(dāng)時(shí)， 取得最小值且．
證得，==．
得證.
第二種思路是：當(dāng)，時(shí)，，根據(jù),轉(zhuǎn)化成．
構(gòu)造函數(shù)，研究得到函數(shù)在時(shí)取唯一的極小值即最小值為．達(dá)到證明目的.
試題解析：（1），由是的極值點(diǎn)得，
即，所以．　　　                   ２分
于是，，
由知 在上單調(diào)遞增，且，
所以是的唯一零點(diǎn)．                    ４分
因此，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù) 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．            ６分
（2）解法一：當(dāng)，時(shí)，，
故只需證明當(dāng)時(shí)，＞．　           ８分
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，
故在上有唯一實(shí)根，且．       10分
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
從而當(dāng)時(shí)， 取得最小值且．
由得,．             12分
故
==．
綜上，當(dāng)時(shí)，．　          14分
解法二：當(dāng)，時(shí)，，又,所以
．　                  ８分
取函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，得函數(shù)在時(shí)取唯一的極小值即最小值為．　  12分
所以，而上式三個(gè)不等號(hào)不能同時(shí)成立，故＞．             14分