Question

如圖所示,在三棱錐S—ABC中,側(cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直,若SO⊥底面ABC于點(diǎn)O,若將此三棱錐沿側(cè)棱展成平面圖形恰好可以形成一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形.

   

(1)求證:O是底面△ABC的垂心;

(2)求二面角SABC的大小.

Answer 1

解：(1)連AO、BO,

因?yàn)閭?cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直,易證SA⊥平面SBC、SB⊥平面SAC、SC⊥平面SAB.

所以SA⊥BC,由三垂線(xiàn)定理的逆定理,AO⊥BC,同理可證BO⊥AC.所以O(shè)為高線(xiàn)的交點(diǎn),即為△ABC的垂心.                                                            

(2)在三棱錐S—ABC中,過(guò)S作SD垂直AB于D,連CD.因?yàn)镾C⊥平面SAB,根據(jù)三垂線(xiàn)定理,CD⊥AB,所以∠SDC即為所求二面角S-AB-C的平面角.                       

(注:連結(jié)CO并延長(zhǎng)交AB于D,連結(jié)SD.由CS⊥平面SAB或由SO⊥平面CAB得SD⊥AB.得∠SDC為所求二面角的平面角.同樣得8分)

由于三棱錐的展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為a的正方形,則B、C分別是SS′和SS″的中點(diǎn),即SB=SC=,

所以SA=a,AB=AC=,BC=.                                        

在△SAB中,∠ASB=90°,SB=,SA=a,AB=a,所以SD=a.

所以tan∠SDC=,

即二面角S-AB-C的大小為arctan.