Question

已知函數(shù)f（x）=sinx-cosx，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)t（x）=2f（x）f′（x-1）的值域和對稱軸．

Answer 1

解：∵函數(shù)f（x）=sinx-cosx，∴f′（x）=cosx+sinx，f′（x-1）=cos（x-1）+sin（x-1）．
故函數(shù)t（x）=2f（x）f′（x-1）=（2sinx-2cosx）[cos（x-1）+sin（x-1）]=2sinxcos（x-1）+2sinssin（x-1）-2cosxcos（x-1）-2cosxsin（x-1）
=2sin[x-（x-1）]-2cos[x+（x-1）]=2sin1-2cos（2x-1）．
∵-1≤cos（2x-1）≤1，∴2sin1-2≤2sin1-2cos（2x-1）≤2sin1+2，∴函數(shù)的值域?yàn)閇2sin1-2 2sin1+2]．
令2x-1=kπ，k∈z，可得 x=，k∈z，故對稱軸為 x=，k∈z．
分析：先求出 f′（x），可得 f′（x-1），從而得到故函數(shù)t（x）=2f（x）f′（x-1）的解析式，化簡為2sin1-2cos（2x-1），由-1≤cos（2x-1）≤1求出值域，令2x-1=kπ，k∈z，
可得對稱軸為 x=，k∈z．
點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的對稱性，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．