Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)一切n∈N^*，點(diǎn)（n，S_n）在函數(shù)f（x）=x²+x的圖象上．
（1）求a_n的表達(dá)式；
（2）設(shè)，使得不等式A_n＜a對(duì)一切n∈N^*都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）將數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)，2項(xiàng)循環(huán)地分為（a₁），（a₂，a₃），（a₄），（a₅，a₆），（a₇），（a₈，a₉），（a₁₀），
…，分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來(lái)括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{b_n}，求b₁₀₀的值；
（4）如果將數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)，2項(xiàng)，3項(xiàng)，4項(xiàng)循環(huán)；分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來(lái)括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{b_n}，提出同（3）類(lèi)似的問(wèn)題（（3）應(yīng)當(dāng)作為特例），并進(jìn)行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)（n，S_n）在函數(shù)f（x）=x²+x的圖象上，
∴S_n=n²+n．
a₁=S₁=2，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n（n=1時(shí)也成立）．
∴a_n=2n（n∈N^*）．
（2）
==．
依題意，只要．
（3）數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)，2項(xiàng)循環(huán)地分為（2），（4，6），（8），（10，12）；（14），（16，18）；（20），…，每一次循環(huán)記為一組．由于每一個(gè)循環(huán)含有2個(gè)括號(hào)，故b₁₀₀是第50組中第2個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和．
由分組規(guī)律知，b₂，b₄，b₆，…，b₁₀₀，…組成一個(gè)首項(xiàng)b₂=4+6=10，公差d=12
的等差數(shù)列．
所以b₁₀₀=10+（50-1）×12=598．
（4）當(dāng)n是4的整數(shù)倍時(shí)，求b_n的值．
數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12）；（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…
第4組，第8組，…，第4k（k∈N^*）組的第1個(gè)數(shù)，第2個(gè) 數(shù)，…，第4個(gè)數(shù)分別組成一個(gè)等差數(shù)列，
其首項(xiàng)分別為14，16，18，20．公差均為20．
則第4組，第8組，…，第4k組的各數(shù)之和也組成一個(gè)等差數(shù)列，
其公差為80．
且b₄=14+16+18+20=68．
當(dāng)n=4k時(shí)，b_n=68+80（k-1）=20n-12．
分析：（1）由點(diǎn)（n，S_n）在函數(shù)f（x）=x²+x的圖象上可得S_n=n²+2n利用遞推公式 可求；
（2）根據(jù)（1）求出，利用裂項(xiàng)相消法求出A_n即可求出使得不等式A_n＜a對(duì)一切n∈N^*都成立的a；
（3）由分組規(guī)律知，b₂，b₄，b₆，…b₁₀₀組成首項(xiàng)為b₂=4+6=10，公差d=12的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；
（4）根據(jù)題意，舉特例當(dāng)n是4的整數(shù)倍時(shí)，求b_n的值．根據(jù)依次按1項(xiàng)，2項(xiàng)，3項(xiàng)，4項(xiàng)循環(huán)，可知數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12）；（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…，根據(jù)它們的特點(diǎn)即可求得結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用遞推公式 求數(shù)列的通項(xiàng)公式，注意不要漏掉對(duì)n=1的檢驗(yàn)
，以及裂項(xiàng)相消求和法，還考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，同時(shí)考查運(yùn)算能力，屬中檔題．