Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n=2n-1，數(shù)列{b_n}滿足2$\sum_{i=1}^{n}i•_{i}$-2n=S_n，若b_n≥λ對任意的n∈N^*恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍為（-∞，1]．．

Answer 1

分析 先求出數(shù)列{a_n}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，繼而求出S_n=n²，再根據(jù)2$\sum_{i=1}^{n}i•_{i}$-2n=S_n，求出b_n=1+$\frac{1}{2n}$，根據(jù)數(shù)列的函數(shù)特征，即可求出參數(shù)的取值范圍．

解答 解：∵a_n=2n-1，
∴a_n-1=2（n-1）-1，
∴a_n-a_n-1=2，
∵a₁=2×1-1=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
∴S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
∵數(shù)列{b_n}滿足2$\sum_{i=1}^{n}i•_{i}$-2n=S_n，
∴2（1•b₁+2×b₂+…+nb_n）-2n=n²，
即1•b₁+2×b₂+…+nb_n=$\frac{1}{2}$n²+n，
∴1•b₁+2×b₂+…+（n-1）b_n-1=$\frac{1}{2}$（n-1）²+n-1，
∴nb_n=$\frac{1}{2}$n²+n-$\frac{1}{2}$（n-1）²-（n-1）=n+$\frac{1}{2}$，
∴b_n=1+$\frac{1}{2n}$
∵b_n≥λ對任意的n∈N^*恒成立，
∴1+$\frac{1}{2n}$≥λ，
∵1＜1+$\frac{1}{2n}$≤$\frac{3}{2}$
∴λ≤1，
故答案為：（-∞，1]．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的通項與求和，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題