Question

如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，且,,點(diǎn)是中點(diǎn)．

（Ⅰ）若為中點(diǎn)，證明：//平面；

（Ⅱ）若是邊上任一點(diǎn)，證明：；

（Ⅲ）若，求直線與平面所成角的正弦值．

 

 

 

Answer 1

【答案】

（I）E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為PB中點(diǎn)

∴EF∥CP   CP平面PAC，平面PAC

∴EF∥平面PAC

（II）∵PA⊥平面ABCD    ∴PA⊥BC

又AB⊥BC

    ∴BC⊥平面PAB     BC⊥AF

又PA=AB，F(xiàn)為PB中點(diǎn)，∴PB⊥AF

，AF⊥平面PBC    ∴AF⊥PE

（III）分別以直線AD、DB、DP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系

P(0,0,1)    B(0,1,0)，

 

設(shè)平面PDE的一個(gè)法向量為

令x=1得平面PDE和一個(gè)法向量

又   AP與平面PDE所成角為

PA與平面PDE所成角正弦值為.

【解析】略