Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是A₁D₁的中點(diǎn)，Q是A₁B₁上任意一點(diǎn)，E、F是CD上任意兩點(diǎn)，且EF的長為定值，現(xiàn)有如下結(jié)論：
①異面直線PQ與EF所成的角為定值；
②點(diǎn)P到平面QEF的距離為定值；
③直線PQ與平面定PEF所成的角為定值
④三棱錐P-QEF的體積為定值；
⑤二面角P-EF-Q的大小為定值．
其中正確的結(jié)論是

3

．

Answer 1

分析：通過異面直線所成角，直線與平面所成角二面角，幾何體的體積的判斷，找出正確判斷的個(gè)數(shù)即可．

解答：解：當(dāng)點(diǎn)Q與A₁重合時(shí)，異面直線PQ與EF所成角為

π

2

，當(dāng)點(diǎn)Q與A₁B₁的中點(diǎn)重合時(shí)，異面直線PQ與EF所成角為

π

4

，所以①不正確；
當(dāng)Q是A₁B₁上任意一點(diǎn)，三棱錐P-QEF上的高為PA₁不變，所以②正確．
當(dāng)Q是A₁B₁上任意一點(diǎn)，直線PQ與平面定PEF所成的角是變化的，所以③不正確；
當(dāng)Q是A₁B₁上任意一點(diǎn)，Q點(diǎn)到直線EF的距離不變，恒為A₁D=

2

a，點(diǎn)P到底面QEF的距離恒為PA，所以棱錐的體積是定值，④正確；
當(dāng)Q是A₁B₁上任意一點(diǎn)，二面角P-EF-Q的大小為45°，不變是定值，正確．
所以正確的命題有3個(gè)．
故答案為：3．

點(diǎn)評：本題考查空間角的求法，幾何體的體積的求法，空間中點(diǎn)線面的距離的應(yīng)用，考查空間想象能力與計(jì)算能力．