Question

已知函數(shù)f（x）=ax-3，g（x）=bx^-1+cx^-2（a，b∈R），且g（1）-g（-

1

2

）=f（0）．
（1）試求b，c所滿(mǎn)足的關(guān)系式；
（2）若c=0時(shí)，方程f（x）=g（x）在（0，+∞）內(nèi)有唯一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件建立方程關(guān)系即可求b，c所滿(mǎn)足的關(guān)系式；
（2）若c=0時(shí)，b的值也可解出，畫(huà)函數(shù)f（x）與g（x）的 圖象，利用數(shù)形結(jié)合解方程f（x）=g（x）．

解答： 解：（1）由g（-

1

2

）-g（1）=f（0），得（b+c）-（-2b+4c）=-3，
∴b、c所滿(mǎn)足的關(guān)系式為b-c+1=0．
（2）當(dāng)c=0時(shí)，b=-1，
∴g（x）=-

1

x

，方程f（x）=g（x）可化為ax-3=-

1

x

，
在同一坐標(biāo)系中畫(huà)函數(shù)y=ax-3，y=-

1

x

：

直線(xiàn)y=ax-3橫過(guò)定點(diǎn)（0，-3），
要使方程f（x）=g（x）在（0，+∞）內(nèi)有唯一解，只要兩函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
又∵a為斜率，只要a滿(mǎn)足a＜0，或a=0或a=k_l即可，其中直線(xiàn)l：y=ax-3與y=-

1

x

相切．
由

y=ax-3 y=- 1 x

可推得ax-3=-

1

x

，即ax²-3x+1=0，∴△=9-4a=0得出k_l=

9

4

，
∴a＜0，或a=0或a=

9

4

，
∴a的取值范圍是（-∞，

9

4

]∪{0}∪{

9

4

}

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想，把方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的思想．