【題目】某市A,B兩所中學的學生組隊參加辯論賽,A中學推薦了3名男生、2名女生,B中學推薦了3名男生、4名女生,兩校所推薦的學生一起參加集訓.由于集訓后隊員水平相當,從參加集訓的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊.
(1)求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率;
(2)某場比賽前,從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽,設X表示參賽的男生人數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望.
【答案】(1);(2)詳見解析.
【解析】試題分析:(1) A中至少有1名學生入選代表隊的對立事件是A中沒有學生入選代表隊,那3名男生和3名女生都是B中的學生,計算概率后,再用1減,即是所求概率;
(2)6名隊員中有3男,3女,所以選4人中,X表示參賽的男生人數(shù),X的可能取值為1,2,3,根據(jù)超幾何分布計算其概率,列分布列和求期望.
試題解析:解:(1)由題意知,參加集訓的男、女生各有6名.
參賽學生全部從B中學中抽取(等價于A中學沒有學生入選代表隊)的概率為.
因此,A中學至少有1名學生入選代表隊的概率為1-
(2)根據(jù)題意得,X的可能取值為1,2,3.
P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.
所以X的分布列為
因此,X的數(shù)學期望
E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1×+2×+3×=2.
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【題目】為了解某校高三畢業(yè)班報考體育專業(yè)學生的體重(單位:千克)情況,將從該市某學校抽取的樣本數(shù)據(jù)整理后得到如下頻率分布直方圖.已知圖中從左至右前3個小組的頻率之比為1:2:3,其中第2小組的頻數(shù)為12. (I)求該校報考體育專業(yè)學生的總人數(shù)n;
(Ⅱ)若用這所學校的樣本數(shù)據(jù)來估計該市的總體情況,現(xiàn)從該市報考體育專業(yè)的學生中任選3人,設ξ表示體重超過60千克的學生人數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤ ),x=﹣ 為f(x)的零點,x= 為y=f(x)圖象的對稱軸,且f(x)在( , )單調(diào),則ω的最大值為 .
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【題目】某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動,舉辦方設置了甲、乙兩種抽獎方案,方案甲的中獎率為,中獎可以獲得2分;方案乙的中獎率為,中獎可以獲得3分;未中獎則不得分.每人有且只有一次抽獎機會,每次抽獎中獎與否互不影響,晚會結束后憑分數(shù)兌換獎品.
(1)若小明選擇方案甲抽獎,小紅選擇方案乙抽獎,記他們的累計得分為X,求X≤3的概率;
(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎,問:他們選擇何種方案抽獎,累計得分的數(shù)學期望較大?
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【題目】如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F(xiàn),G,H分別為AA1 , AB,BB1 , B1C1的中點,則異面直線EF與GH所成的角等于( )
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
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【題目】已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1 , O是底ABCD對角線的交點.求證:
(1)C1O∥面AB1D1;
(2)平面A1AC⊥面AB1D1 .
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【題目】定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),且在[﹣3,﹣2]上是減函數(shù),若α,β是銳角三角形的兩個內(nèi)角,則( )
A.f(sinα)>f(sinβ)
B.f(sinα)<f(cosβ)
C.f(cosα)<f(cosβ)
D.f(sinα)>f(cosβ)
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣3x+alnx(a>0). (Ⅰ)若a=1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)設函數(shù)f(x)圖象上任意一點的切線l的斜率為k,當k的最小值為1時,求此時切線l的方程.
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【題目】設函數(shù)f(x)=ax2-lnx。
(Ⅰ)當a=時,判斷f(x)的單調(diào)性;(Ⅱ)設f(x)≤x3+4x-lnx,在定義域內(nèi)恒成立,求a的取值范圍。
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