Question

12．函數(shù)y=log_ax+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線$\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$-4=0（m＞0，n＞0）上，則$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=4；m+2n的最小值為$\frac{2\sqrt{2}+3}{4}$．

Answer 1

分析 由題意，求出A的坐標(biāo)，代入直線$\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$-4=0，可以基本不等式的性質(zhì)求解即可．

解答 解：函數(shù)y=log_ax+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，
即x=1，y=1，
∴A的坐標(biāo)為（1，1）．
將A代入直線$\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$-4=0．
可得：$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=4$．
得：$\frac{1}{4m}+\frac{1}{4n}=1$．
那么：（m+2n）（$\frac{1}{4n}+\frac{1}{4m}$）=$\frac{m}{4n}+\frac{n}{2m}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$≥2$\sqrt{\frac{m}{4n}×\frac{n}{2m}}+\frac{3}{4}$=$\frac{2\sqrt{2}+3}{4}$．
（當(dāng)且僅當(dāng)m=$\sqrt{2}$n=$\frac{1+\sqrt{2}}{4}$時(shí)，取等號(hào)）
∴m+2n的最小值為$\frac{2\sqrt{2}+3}{4}$．
故答案為：4，$\frac{2\sqrt{2}+3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的恒過定點(diǎn)的求法和基本不等式的運(yùn)用．屬于中檔題．