Question

在△ABC中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，

m

=（2a，b）與

n

=（

3

，sinB）共線，
（1）求角A．
（2）將函數(shù)y₁=sinx的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=f（x）的圖象，若f（A）=

1

2

，b=1，且△ABC的面積s=

3

2

，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）通過向量平行，列出方程，利用正弦定理求出角A．
（2）將函數(shù)y₁=sinx的圖象通過變換得到函數(shù)的解析式，利用f（A）=

1

2

，b=1，且△ABC的面積s=

3

2

，以及余弦定理求出三角形的四個(gè)邊長(zhǎng)，即可判斷△ABC的形狀．

解答： 解：（1）

m

=（2a，b）與

n

=（

3

，sinB）共線，得

3

b=2asinB，（2分）
由正弦定理有：

3

sinB=2sinAsinB．
∵B∈（0，π），∴sinB＞0，∴sinA=

3

2

．（4分）
又A∈（0，π），得：A=

π

3

或A=

2π

3

．（6分）
（2）由已知將函數(shù)y₁=sinx的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=sin（x+

π

6

），
再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半（縱坐標(biāo)不變），
得到函數(shù)y=f（x）=sin（2x+

π

6

），（8分）
由f（A）=

1

2

，∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，得A=

π

3

．
又S=

1

2

bcsinA=

3

2

，b=1，得c=2．（10分）
由余弦定理cosA=

b2+c2-a2

2bc

，得a=

3

．
顯見a²+b²=c²，
∴△ABC是以角C為直角的Rt△ABC．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以向量為載體，考查向量的共線，同時(shí)考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象的變換，基本知識(shí)的考查．