Question

9．已知函數f（x）=（x²+2ax）e^-x（a∈R）．
（Ⅰ）當$a=\frac{1}{2}$時，試證明f′（x）≤1；
（Ⅱ）討論f（x）在區(qū)間（1，3）上的單調性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導，根據導數和函數的最值得關系即可判斷；
（Ⅱ）先求導，再求f′（x）=0的值，分類討論即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\frac{{（{x^2}+x）}}{e^x}$，f′（x）=（-x²+x+1）e^-x…（1分）
設g（x）=f′（x），則g′（x）=（x²-3x）e^-x…（2分）
解g′（x）=（x²-3x）e^-x=0得，x=0或x=3…（3分）

x	（-∞，0）	0	（0，3）	3	（3，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

g（0）=1，g（3）=-5e^-3，且x→+∞時，g（x）=（-x²+x+1）e^-x→0，
所以g（x）的最大值為g（0）=1，
g（x）=f′（x）≤1…（6分）
（Ⅱ）f′（x）=-[x²+2（a-1）x-2a]e^-x…（7分）
解f′（x）=0得，${x_1}=1-a-\sqrt{1+{a^2}}$或${x_2}=1-a+\sqrt{1+{a^2}}$…（8分）

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

…（9分）
∵f′（1）=e^-1＞0（即1∈（x₁，x₂）），解$1-a+\sqrt{1+{a^2}}=3$得$a=-\frac{3}{4}$…（10分）
當$a≤-\frac{3}{4}$時，${x_2}=1-a+\sqrt{1+{a^2}}≥3$，f（x）在區(qū)間（1，3）上的單調遞增…（11分）
當$a＞-\frac{3}{4}$時，${x_2}=1-a+\sqrt{1+{a^2}}＜3$，f（x）在區(qū)間$（1，1-a+\sqrt{1+{a^2}}）$上的單調遞增，在區(qū)間$（1-a+\sqrt{1+{a^2}}，3）$上的單調減…（12分）

點評 本題考查了導數和函數的單調性的關系以及導數和函數的最值得關系，考查了運算能力，轉化能力，屬于中檔題．