Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= x3﹣2ax2+3a2x+b（a＞0）．
（1）當(dāng)y=f（x）的極小值為1時，求b的值；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，求a的范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=x2﹣4ax+3a2=（x﹣a）（x﹣3a），

令f′（x）≥0，解得：x≤a，x≥3a，

令f′（x）＜0，解得：a＜x＜3a，

故f（x）在（﹣∞，a）遞增，在（a，3a）遞減，在（3a，+∞）遞增，

由函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在x=3a處取極小值，

即f（3a）= （3a）3﹣2a（3a）2+3a23a+b=1，

所以b=1；

（2）解：f′（x）=x2﹣4ax+3a2=（x﹣a）（x﹣3a），

要使f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，

則導(dǎo)數(shù)在[1，2]小于等于0，

即[1，2][a，3a]，

故 ，

所以 ≤a≤1

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出f（3a）是函數(shù)的極小值，求出b的值即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到[1，2][a，3a]，求出a的范圍化簡．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．