Question

(本小題共14分)已知是由滿(mǎn)足下述條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：對(duì)任意，①方程有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿(mǎn)足．

（Ⅰ）判斷函數(shù)是否是集合中的元素，并說(shuō)明理由；

（Ⅱ）集合中的元素具有下面的性質(zhì)：若的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601110591788514/SYS201205260113223396550013_ST.files/image008.png">，則對(duì)于任意，都存在，使得等式成立．試用這一性質(zhì)證明：方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

（Ⅲ）對(duì)任意，且，求證：對(duì)于定義域中任意的，，，當(dāng)，且時(shí)，.

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）因?yàn)棰佼?dāng)時(shí)，，

所以方程有實(shí)數(shù)根0；

②，

所以，滿(mǎn)足條件；

由①②，函數(shù)是集合中的元素.        …………5分

（Ⅱ）假設(shè)方程存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，

則，.

不妨設(shè)，根據(jù)題意存在，

滿(mǎn)足.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601110591788514/SYS201205260113223396550013_DA.files/image018.png">，，且，所以.

與已知矛盾.又有實(shí)數(shù)根，

所以方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.                 …………10分

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；

當(dāng)，不妨設(shè).

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601110591788514/SYS201205260113223396550013_DA.files/image025.png">,且所以為增函數(shù)，那么.

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601110591788514/SYS201205260113223396550013_DA.files/image029.png">，所以函數(shù)為減函數(shù)，

所以.

所以，即.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601110591788514/SYS201205260113223396550013_DA.files/image034.png">，所以，  （1）

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601110591788514/SYS201205260113223396550013_DA.files/image036.png">，所以， （2）

（1）（2）得即.

所以.

綜上，對(duì)于任意符合條件的,總有成立.……14分

【解析】本題是一道以集合為背景的創(chuàng)新題，考查函數(shù)的性質(zhì)和不等式的證明�？疾閷W(xué)生的理解能力和分析能力。讀懂題意是解題的前提，解題是注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用。