【題目】如圖,在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,棱AD=DC=3,DD1=4,E是A1A的中點.
(1)求證:A1C∥平面BED;
(2)求二面角E﹣BD﹣A的正切值.
【答案】
(1)證明:如圖建立空間直角坐標系,取BD的中點O,連接EO.
A1(0,0,4),C(3,3,0),E(0,0,2),O( , ,0)
=(3,3,﹣4), =( , ,﹣2),
∴ =2 ,∴A1C∥EO.
∵EO平面BED,A1C平面BED,
∴A1C∥平面BED
(2)解:由于AE⊥平面ABCD,
則 =(0,0,2)就是平面ABCD的法向量.
B(3,0,0),D(0,3,0),
=(﹣3,0,2), =(﹣3,3,0),
設(shè)平面EBD的法向量為 =(x,y,z).
得
令z=3,則 =(2,2,3).
cos = ,
∴二面角E﹣BD﹣A的正切值為 .
【解析】(1)建立空間直角坐標系,先求得相關(guān)點的坐標,從而得到 =(3,3,﹣4), =( , ,﹣2),然后由共線向量定理證明即可.(2)分別求得二個半平面的一個法向量即可,由于AE⊥平面ABCD,則 =(0,0,2)就是平面ABCD的法向量.B(3,0,0),D(0,3,0),再求得平面EBD的一個法向量為,用向量的夾角公式求解.
【考點精析】認真審題,首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知α為銳角,且 ,函數(shù) ,數(shù)列{an}的首項a1=1,an+1=f(an).
(1)求函數(shù)f(x)的表達式;
(2)求證:數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列;
(3)求數(shù)列{an}的前n項和Sn .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且滿足an2﹣2Sn=2﹣an(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
()求函數(shù)的定義域.
()判斷在定義域上的單調(diào)性,并用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論.
()求函數(shù)的值域.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知曲線C在直角坐標系xOy下的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)).以O(shè)為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.
(I)求曲線C的極坐標方程;
(Ⅱ)直線l的極坐標方程是ρcos(θ﹣ )=3 ,射線OT:θ= (ρ>0)與曲線C交于A點,與直線l交于B,求線段AB的長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知cos2A+ =2cosA.
(1)求角A的大;
(2)若a=1,求△ABC的周長l的取值范圍.
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