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20.已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-2ax-1.
(Ⅰ)當(dāng)a=12時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)=f′(x),討論g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);若存在零點(diǎn),請(qǐng)求出所有的零點(diǎn)或給出每個(gè)零點(diǎn)所在的有窮區(qū)間,并說明理由(注:有窮區(qū)間指區(qū)間的端點(diǎn)不含有-∞和+∞的區(qū)間).

分析 (Ⅰ)求得當(dāng)a=12時(shí)的f(x)的導(dǎo)數(shù),由導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性,討論x>0,x<0,即可得到所求單調(diào)性;
(Ⅱ)由條件可得g(x)=2ax-2a,g′(x)=ex+2a,對(duì)a討論:a=0,a>0,分①1-2a<0,即a>12時(shí),②1-2a=0,即a=12時(shí),③1-2a>0,即0<a<12時(shí),a<0,分①ln(-2a)-2<0,即-e22<a<0時(shí),②ln(-2a)-2=0,即a=-e22時(shí),③ln(-2a)-2>0,即a<-e22時(shí),運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性以及函數(shù)零點(diǎn)存在定理,即可判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

解答 解:(Ⅰ)當(dāng)a=12時(shí),f′(x)=ex+x-1,
易知f′(x)在R上單調(diào)遞增,且f′(0)=0,
因此,當(dāng)x<0時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x>0時(shí),f′(x)>0.
故f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增;                 
(Ⅱ)由條件可得g(x)=ex+2ax-2a,g′(x)=ex+2a,
(i)當(dāng)a=0時(shí),g(x)=ex>0,g(x)無(wú)零點(diǎn);
(ii)當(dāng)a>0時(shí),g′(x)>0,g(x)在R上單調(diào)遞增,
g(0)=1-2a,g(1)=e>0,
①若1-2a<0,即a>12時(shí),g(0)=1-2a<0,g(x)在(0,1)上有一個(gè)零點(diǎn);
②若1-2a=0,即a=12時(shí),g(0)=0,g(x)有一個(gè)零點(diǎn)0;
③若1-2a>0,即0<a<12時(shí),g(2a12a)=e2a12a-1<0,
g(x)在(2a12a,0)上有一個(gè)零點(diǎn);                                                       
(iii)當(dāng)a<0時(shí),令g′(x)>0,得x>ln(-2a);
令g′(x)<0,得x<ln(-2a).
所以g(x)在(-∞,ln(-2a))單調(diào)遞減,在(ln(-2a),+∞)單調(diào)遞增,
g(x)min=g(ln(-2a))=2a[ln(-2a)-2];
①若ln(-2a)-2<0,即-e22<a<0時(shí),g(x)>0,g(x)無(wú)零點(diǎn);
②若ln(-2a)-2=0,即a=-e22時(shí),g(2)=0,g(x)有一個(gè)零點(diǎn)2;
③若ln(-2a)-2>0,即a<-e22時(shí),g(1)=e>0,g(ln(-2a))<0,
g(x)在(1,ln(-2a))有一個(gè)零點(diǎn);                                              
設(shè)h(x)=ex-x2(x≥1),則h′(x)=ex-2x,
設(shè)u(x)=ex-2x,則u′(x)=ex-2,
當(dāng)x≥1時(shí),u′(x)≥e-2>0,所以u(píng)(x)=h′(x)在[1,+∞)單調(diào)遞增,
h′(x)≥h′(1)=e-2>0,所以h(x)在[1,+∞)單調(diào)遞增,
h(x)≥h(1)=e-1,即x>1時(shí),ex>x2,故g(x)>x2+2ax-2a,
設(shè)k(x)=lnx-x(x≥1),則k′(x)=1x-1=1xx≤0,所以k(x)在[1,+∞)單調(diào)遞減,
k(x)≤k(1)=-1<0,即x>1時(shí),lnx<x,
因?yàn)閍<-e22時(shí),-2a>e2>1,所以ln(-2a)<-2a,
又g(-2a)>(-2a)2+2a(-2a)-2a=-2a>0,g(x)在(ln(-2a),-2a)上有一個(gè)零點(diǎn),
故g(x)有兩個(gè)零點(diǎn).
綜上,當(dāng)a<-e22時(shí),g(x)在(1,ln(-2a))和(ln(-2a),-2a)上各有一個(gè)零點(diǎn),共有兩個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)a=-e22時(shí),g(x)有一個(gè)零點(diǎn)2;當(dāng)-e22<a≤0時(shí),g(x)無(wú)零點(diǎn);
當(dāng)0<a<12時(shí),g(x)在(2a12a,0)上有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a=12時(shí),g(x)有一個(gè)零點(diǎn)0;
當(dāng)a>12時(shí),g(x)在(0,1)上有一個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求單調(diào)性,考查函數(shù)的零點(diǎn)的判斷,注意運(yùn)用分類討論的思想方法,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,以及轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用,具有一定的難度.

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