Question

設(shè)函數(shù)f(x)=，其中a>0。

    （1）解不等式f(x)1；

    （2）求a的取值范圍，使函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，+]上是單調(diào)函數(shù)。

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)解法一  不等式，f(x)≤1即     由此得1≤1＋αx，即αx≥0，其中常數(shù)α＞0。     所以，原不等式等價(jià)于 即     所以，當(dāng)0＜α＜1時(shí)，所給不等式的解集為     當(dāng)α≥1時(shí),所給不等式的解集為{x|x≥0}。     解法二  f(x)≤1即≤αx＋1，原不等式等價(jià)于     由①得x[(α2－1)x＋2α]≥0        ③     由②得x≥－                       ④     當(dāng)α=1時(shí)，③的解為x≥O，能滿足④。     當(dāng)α＞1時(shí)。③的解為x≥O，或，     x≥0能使④成立，     =＜，     所以α＞1時(shí)，x＜不能使④成立。     當(dāng)0＜α＜1時(shí)，③的解為0≤x≤，能使④成立。     綜上，當(dāng)0＜α＜1時(shí)，不等式的解集為     。     當(dāng)α≥1時(shí)，不等式的解集為|x|x≥0}。     (2)解  在區(qū)間[0，＋∞)上任取x1，x2，使得x1＜x2，     f(x1)－f(x2)=－α(x1－x2)         =。 (i)當(dāng) ， 。     又x1－x2＜0，     ∴f(x1)－f(x2)＞0。     即，f(x1)＞f(x2)。     所以，當(dāng)α≥1時(shí)，函數(shù)，f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)。     (ii)當(dāng)0＜α＜1時(shí)，在區(qū)間[0，＋∞)上存在兩點(diǎn)x1=2，x2=，滿足，f(x1)=1，f(x2)=1，即f(x1)=f(x2)，所以函數(shù)，f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上不是單調(diào)函數(shù)。     綜上，當(dāng)且僅當(dāng)α≥1時(shí)，函數(shù)，f(x)在區(qū)間[0，＋∞]上是單調(diào)函數(shù)。