Question

求滿足下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）橢圓C的中心在原點，焦點F₁，F(xiàn)₂在x軸上，離心率為

2

2

．過F₁的直線l交C于A，B兩點，且△ABF₂的周長為16；
（2）焦點在x軸上，焦距為10且點（2，1）在其漸近線上的雙曲線方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由已知得

e= c a = 2 2 4a=16 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．
（2）由題意設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞0，b＞0，由已知得

2c=10 2b a =1 c2=a2+b2

，由此能求出雙曲線方程．

解答： （本小題滿分10分）
解：（1）由題意設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知得

e= c a = 2 2 4a=16 a2=b2+c2

，
解得a=4，b=2

2

，
∴橢圓方程為

x2

16

+

y2

8

=1．…（5分）
（2）由題意設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞0，b＞0，
由已知得

2c=10 2b a =1 c2=a2+b2

，
解得a=2

5

，b=

5

，
∴雙曲線方程為

x2

20

-

y2

5

=1．…（5分）

點評：本題考查橢圓方程和雙曲線方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓錐曲線的性質(zhì)的合理運用．