Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4ax+2（x＜1）}\\{lo{g}_{a}x（x≥1）}\end{array}\right.$，在區(qū)間（-∞，+∞）上是減函數(shù)，則a的取值范圍為$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，討論x＜1時(shí)，f（x）是二次函數(shù)，在對(duì)稱軸對(duì)稱軸左側(cè)單調(diào)遞減，
x≥1時(shí)，f（x）是對(duì)數(shù)函數(shù)，在0＜a＜1時(shí)單調(diào)遞減；
再利用端點(diǎn)處的函數(shù)值即可得出滿足條件的a的取值范圍．

解答 解：由函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4ax+2（x＜1）}\\{lo{g}_{a}x（x≥1）}\end{array}\right.$在區(qū)間（-∞，+∞）上是減函數(shù)，
當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=x²-4ax+2，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=2a，
在對(duì)稱軸左側(cè)單調(diào)遞減，
∴2a≥1，解得a≥$\frac{1}{2}$；
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=log_ax，在0＜a＜1時(shí)單調(diào)遞減；
又1²-4a+2≥log_a1，
即a≤$\frac{3}{4}$；
綜上，a的取值范圍是$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性問題，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．