Question

已知函數(shù)，，函數(shù)的圖像在點處的切線平行于軸．
（1）求的值；
（2）求函數(shù)的極小值；
（3）設(shè)斜率為的直線與函數(shù)的圖象交于兩點，（）,證明：．

Answer 1

(1) ；（2）；（3）證明過程詳見解析.

試題分析：本題考查函數(shù)與導數(shù)及運用導數(shù)求切線方程、單調(diào)區(qū)間、最值等數(shù)學知識和方法，突出考查綜合運用數(shù)學知識和方法分析問題解決問題的能力.第一問，對求導，將代入得到切線的斜率，由已知得，即，所以；第二問，利用第一問的結(jié)論得到的解析式，對求導，判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值；第三問，先用分析法得出與結(jié)論等價的式子，即，先證不等式的右邊，構(gòu)造函數(shù)，通過求導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值，所以，即，再證不等式的左邊，同樣構(gòu)造函數(shù)，通過求導，求出最小值，即，即，綜合上述兩部分的證明可得.
試題解析：（1）依題意得，則
由函數(shù)的圖象在點處的切線平行于軸得：
∴ .
（2）由（1）得 
∵函數(shù)的定義域為，令得或
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．故函數(shù)的極小值為
（3）證法一：依題意得，
要證，即證
因，即證 
令（），即證（）
令（）則
∴在（1，+）上單調(diào)遞減，
∴ 即，                 ①
令（）則
∴在（1，+）上單調(diào)遞增，
∴=0，即（）                 ②
綜①②得（），即．
【證法二：依題意得，
令則
由得，當時，，當時，，
在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又
即