Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n與通項a_n之間滿足關系S_n=-
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）設f（x）=log₃x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+L+f（a_n），T_n=，求T₂₀₁₂
（III）若c_n=a_n•f（a_n），求{c_n}的前n項和a_n．

Answer 1

解：（I）n=1時，a₁=S₁=-a₁，∴a₁= （1分）
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=--+，∴a_n=a_n-1，
即數(shù)列{a_n}是首項為，公比為的等比數(shù)列 （3分）
故a_n= （4分）
（II）由已知可得：f（a_n）=-n，則b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=-1-2-…-n=-（5分）
∴） （6分）
∴T_n==2[（1-）+（）+…+（）]=-2（1-）
∴T₂₀₁₂=- （8分）
（III）由題意：c_n=a_n•f（a_n）=-n×，故{c_n}的前n項和u_n=-[1×+2×+…+n×]①
∴u_n=-[1×+2×+…+n×]②
①-②可得：u_n=-[+++…+-n×]（12分）
∴u_n=-[1-]+n×
∴u_n=-+×+n× （14分）
分析：（I）n=1時，a₁=S₁，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，由此可得數(shù)列{a_n}是首項為，公比為的等比數(shù)列，故可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）由已知可得：f（a_n）=-n，則b_n=-，所以），利用疊加法可求T₂₀₁₂的值；
（III）由題意：c_n=a_n•f（a_n）=-n×，利用錯位相減法可求{c_n}的前n項和．
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項與求和，確定數(shù)列的通項，掌握求和的方法是關鍵．