已知△ABC是正三角形,AD⊥平面ABC,H是點(diǎn)A在平面DBC內(nèi)的射影,求證:H不可能是△DBC的垂心.

證明一:假設(shè)H是△DBC的垂心,如圖,連結(jié)CH并延長交BD于F,則CF⊥BD.

∵AH⊥面DBC,∴AH⊥BD.

又CF∩AH=H,∴BD⊥面ACF.∴BD⊥AC.

又DA⊥面ABC,∴DA⊥AC.又BD∩DA=D,∴AC⊥面DAB.

∴AC⊥AB.

這與已知△ABC為正三角形矛盾.∴H不可能是△DBC的垂心.

證明二:假設(shè)H是△DBC的垂心,如上圖,連結(jié)CH,則CH⊥BD.

∵AH⊥面DBC,由三垂線定理知AC⊥BD.

又DA⊥面ABC,

由三垂線定理的逆定理知AC⊥AB.這與已知△ABC為正三角形矛盾.∴H不可能是△DBC的垂心.

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（本小題滿分12分）

如圖，在三棱錐D－ABC中，已知△BCD是正三角

形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E為BC的中點(diǎn)，

F在棱AC上，且AF＝3FC．

（1）求三棱錐D－ABC的表面積；

（2）求證AC⊥平面DEF；

（3）若M為BD的中點(diǎn)，問AC上是否存在一點(diǎn)N，

使MN∥平面DEF？若存在，說明點(diǎn)N的位置；若不

存在，試說明理由．

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F在棱AC上，且AF＝3FC．

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（2）求證AC⊥平面DEF；

（3）若M為BD的中點(diǎn)，問AC上是否存在一點(diǎn)N，

使MN∥平面DEF？若存在，說明點(diǎn)N的位置；若不

存在，試說明理由．

 

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