Question

已知a∈R，函數(shù)f(x)=

1- 1 x ，        x＞0 (a-1)x+1，  x≤ 0

．
（1）求f（1）的值；    
（2）證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；     
（3）求函數(shù)f（x）的零點．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)解析式，令x=1求得f（1）的值．
（2）先在（0，+∞）上任取兩變量，且界定大小，再作差變形看符號．
（3）要求函數(shù)f（x）的零點，即求方程f（x）=0的根，根據(jù)對實數(shù)的討論即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）當x＞0時，f(x)=1-

1

x

，
∴f(1)=1-

1

1

=0．…（2分）
（2）證明：在（0，+∞）上任取兩個實數(shù)x₁，x₂，且

x

1

＜x2，…（3分）
則f(x1)-f(x2)=(1-

1

x1

)-(1-

1

x2

)…（4分）
=

1

x2

-

1

x   1

=

x1-x2

x1x2

．…（5分）
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0．
∴

x1-x2

x1x2

＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂）．…（7分）
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．…（8分）
（3）（�。┊攛＞0時，令f（x）=0，即1-

1

x

=0，解得x=1＞0．
∴x=1是函數(shù)f（x）的一個零點．…（9分）
（ⅱ）當x≤0時，令f（x）=0，即（a-1）x+1=0．（※）
當a＞1時，由（※）得x=

1

1-a

＜0，
∴x=

1

1-a

是函數(shù)f（x）的一個零點； 　　  …（11分）
當a=1時，方程（※）無解；
當a＜1時，由（※）得x=

1

1-a

＞0，（不合題意，舍去）．…（13分）
綜上所述，當a＞1時，函數(shù)f（x）的零點是1和

1

1-a

；  當a≤1時，函數(shù)f（x）的零點是1．…（14分）

點評：本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點等基本知識，考查運算求解能力和推理論證能力．