Question

如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A′．
（1）求證：A′D⊥EF；
（2）求A′到面EFD的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）根據折疊前AD⊥AE，CD⊥CF，可得折疊后A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，再由紆面垂直的判定定理可得A′D⊥平面A′EF，再由線面垂直的性質可得A′D⊥EF．
（2）利用割補法求出四邊形BEDF的面積，及三角形BEF和三角形DEF的面積，求出三棱錐A′DEF的體積后，利用等積法，可求出點A′到平面BEDF的距離．

解答： 解（1）在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF…（1分）
則A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，…（2分）
又A′E∩A′F=A′，A′E，A′F?平面A′EF…（3分）
∴A′D⊥平面A′EF…（4分）
而EF?平面A′EF，
∴A′D⊥EF．…（5分）
（2）∵正方形ABCD的邊長為2，點E是AB的中點，點F是BC的中點
∴S四邊形BEDF=

1

2

S正方形ABCD=

1

2

×22=2，…（6分）
∵S_△BEF=

1

2

×1×1=

1

2

，…（7分）
∴S_△DEF=2-

1

2

=

3

2

，…（8分）
在Rt△BEF中，BE=BF=1，∴EF=

2

，
而A′E=A′F=1，
∴A′E²+A′F²=EF²…（9分）
∴S△A′EF=

1

2

×1×1=

1

2

，…（10分）
由（1）得A′D⊥平面A′EF，且A′D=2，
∴VD-A′EF=

1

3

•S△A′EF•A′D=

1

3

×

1

2

×2=

1

3

，…（11分）
設點A'到平面BEDF的距離為h，
則VA′-DEF=

1

3

•S△DEF•h=

1

3

•

3

2

•h=

1

3

，…（12分）
解得h=

2

3

，…（13分）
∴點A′到平面BEDF的距離為

2

3

．…（14分

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質，點到平面的距離，其中（1）的關鍵是弄清折疊前后不變的線線垂直關系，（2）的關鍵是求出三棱錐A'DEF的體積．