【題目】已知幾何體A﹣BCED的三視圖如圖所示,其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形,正視圖為直角梯形.
(1)求此幾何體的體積V的大;
(2)求異面直線DE與AB所成角的余弦值;
(3)求二面角A﹣ED﹣B的正弦值.
【答案】
(1)解:∵∠ACE,∠ACB都是直角,∴AC⊥BC,AC⊥CE,CB∩CE=C,CB平面BCED,CE平面BCED;
∴AC⊥平面BCED.
∴V= .
(2)解:取CE中點F,連接BF,則BF∥DE,則∠ABF即異面直線DE與AB所成的角,連接AF.
在△ABF中,AB=4 ,BF= ,AF= ;
∴由余弦定理得:cos∠ABF= ;
異面直線DE與AB所成角的余弦值是 .
(3)解:過C作CG⊥DE,交DE于G,連接AG,∵AC⊥平面BCED,ED平面BCED,∴AC⊥ED;
∴ED⊥平面ACG,AG平面ACG,∴ED⊥AG,∴∠AGC是二面角A﹣ED﹣B的平面角;
在Rt△ACG中,AC=4,CG= ,∠ACG=90°;
∴tan∠AGC= ,sin .
【解析】(1)通過已知條件可知,AC⊥底面BCED,再求出梯形BCED的面積,根據(jù)三棱錐的體積公式即可求出體積.(2)先找到異面直線所成的角,可過B作DE的平行線,則角ABF便是異面直線所成的角,根據(jù)條件求出即可.(3)先找出二面角的平面角,過C作CG⊥ED,并交ED于G,連接AG,則∠AGC即是所找的二面角的平面角,根據(jù)條件求出即可.
【考點精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角的相關(guān)知識點,需要掌握異面直線所成角的求法:1、平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點,作另一條的平行線;2、補形法:把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長方體等,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知動圓Q過定點F(0,﹣1),且與直線y=1相切;橢圓N的對稱軸為坐標(biāo)軸,中心為坐標(biāo)原點O,F(xiàn)是其一個焦點,又點(0,2)在橢圓N上.
(1)求動圓圓心Q的軌跡M的方程和橢圓N的方程;
(2)過點(0,﹣4)作直線l交軌跡M于A,B兩點,連結(jié)OA,OB,射線OA,OB交橢圓N于C,D兩點,求△OCD面積的最小值.
(3)附加題:過橢圓N上一動點P作圓x2+(y﹣1)2=1的兩條切線,切點分別為G,H,求 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,E為DC邊的中點,沿AE將△ADE折起,在折起過程中,有幾個正確( )
①ED⊥平面ACD ②CD⊥平面BED ③BD⊥平面ACD ④AD⊥平面BED.
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一個圓錐的底面半徑為2cm,高為6cm,其中有一個高為xcm的內(nèi)接圓柱.
(1)試用x表示圓柱的側(cè)面積;
(2)當(dāng)x為何值時,圓柱的側(cè)面積最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),曲線在點處的切線方程為.
(Ⅰ)求實數(shù), 的值;
(Ⅱ)若, , , ,試判斷, , 三者是否有確定的大小關(guān)系,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓經(jīng)過點,離心率,直線的方程為.
求橢圓的方程;
是經(jīng)過右焦點的任一弦(不經(jīng)過點),設(shè)直線與直線相交于點,記, , 的斜率為, , .問:是否存在常數(shù),使得?若存在,求的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一個容量為60的樣本(60名學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績),分組情況如表:
分組 | 0.5~20.5 | 20.5~40.5 | 40.5~60.5 | 60.5~80.5 | 80.5~100.5 |
頻數(shù) | 3 | 6 | 12 | ||
頻率 | 0.3 |
(1)填出表中所剩的空格;
(2)畫出頻率分布直方圖.
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