Question

17．己知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，且n∈N^*時，a_n+1=$\frac{n}{n+2}$a_n，求通項a_n．

Answer 1

分析 由題意可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+2}$，用累乘法即可求出數(shù)列的通項公式．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{n}{n+2}$a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+2}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{2}{4}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{3}{5}$，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$×$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$×$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$×…×$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{4}$×…$\frac{n-1}{n+1}$=$\frac{1×2}{n（n+1）}$
∵a₁=3，
∴a_n=$\frac{6}{n（n+1）}$．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推式公式，以及累乘法求數(shù)列的通項公式，屬于中檔題．