【題目】已知橢圓的短軸長為2,離心率為
(1)求橢圓C的方程;
(2)設過點M(2,0)的直線l與橢圓C相交于A,B兩點,F(xiàn)1為橢圓的左焦點.
①若B點關于x軸的對稱點是N,證明:直線AN恒過一定點;
②試求橢圓C上是否存在點P,使F1APB為平行四邊形?若存在,求出F1APB的面積,若不存在,請說明理由.
【答案】(1)定點;(2)
【解析】試題分析:(1)由短軸長和離心率可以求得,從而得到橢圓的方程.(2)設出,則直線的方程為: ,利用在直線上,直線的方程又可以轉化為,聯(lián)立方程組并消去,利用韋達定理把直線的方程化簡為,從而得到直線過定點.(3)中設出,因、互相平分,故可用表示,最后利用在橢圓上求出的大小,從而求出平行四邊形的面積.
解析:(1)∵橢圓的短軸長為2,∴,解得,∵離心率為 ,∴ ,解得,∴橢圓的方程為.
(2)證明:①設過的直線,聯(lián)立,得,∵直線與橢圓交于兩點,∴,即 .
設,則 ,∵ 點關于 軸的對稱點是 ,∴ .設直線,∵滿足直線,∴
,∴直線 過定點.
(2)橢圓左焦點 ,設的中點,則 , ,假設存在點使為平行四邊形,則是 的中點,∴, ,即 ,∵在橢圓上,∴ .整理得 ,解得 或(舍),此時,
左焦點直線的距離,∴平行四邊形的面積.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax+ +2﹣2a(a>0)的圖象在點(1,f(1))處的切線與直線y=2x+1平行.
(1)求a,b滿足的關系式;
(2)若f(x)≥2lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍;
(3)證明:1+ + +…+ > (2n+1)+ (n∈N*).
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【題目】如圖,將一副三角板拼接,使它們有公共邊BC,且使兩個三角形所在的平面互相垂直,若
∠BAC=90°,AB=AC,∠CBD=90°,∠BDC=60°,BC=6。
⑴ 求證:平面平面ACD;
⑵ 求二面角的平面角的正切值;
⑶ 設過直線AD且與BC平行的平面為,求點B到平面的距離。
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【題目】已知函數(shù)是偶函數(shù).
(1)求證:是偶函數(shù);
(2)求證:在上是增函數(shù);
(3)設(,且),若對任意的,在區(qū)間上總存在兩個不同的數(shù),,使得成立,求的取值范圍.
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【題目】制定投資計劃時,不僅要考慮可能獲得的盈利,而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個項目.根據(jù)預測,甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100%和50%,可能的最大虧損分別為30%和10%.投資人計劃投資金額不超過10萬元,要求確?赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元.問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元,才能使可能的盈利最大?
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【題目】為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫情況,隨機選取該月中的5天,將這5天中14時的氣溫數(shù)據(jù)(單位:℃)制成如圖所示的莖葉圖,考慮以下結論:
①甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫;
②甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫;
③甲地該月14時的平均氣溫的標準差小于乙地該月14時的平均氣溫的標準差;
④甲地該月14時的平均氣溫的標準差大于乙地該月14時的平均氣溫的標準差,
其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計結論的編號為( )
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
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【題目】微信是現(xiàn)代生活進行信息交流的重要工具,據(jù)統(tǒng)計,某公司名員工中的人使用微信,其中每天使用微信時間在一小時以內的有人,其余每天使用微信在一小時以上.若將員工年齡分成青年(年齡小于歲)和中年(年齡不小于歲)兩個階段,使用微信的人中是青年人.若規(guī)定:每天使用微信時間在一小時以上為經常使用微信,經常使用微信的員工中是青年人.
(Ⅰ)若要調查該公司使用微信的員工經常使用微信與年齡的關系,列出列聯(lián)表;
青年人 | 中年人 | 合計 | |
經常使用微信 | |||
不經常使用微信 | |||
合計 |
(Ⅱ)由列聯(lián)表中所得數(shù)據(jù),是否有的把握認為“經常使用微信與年齡有關”?
(Ⅲ)采用分層抽樣的方法從“經常使用微信”的人中抽取人,從這人中任選人,求事件 “選出的人均是青年人”的概率.
附:
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【題目】已知拋物線在第一象限內的點到焦點的距離為.
(1)若,過點, 的直線與拋物線相交于另一點,求的值;
(2)若直線與拋物線相交于兩點,與圓相交于兩點, 為坐標原點, ,試問:是否存在實數(shù),使得的長為定值?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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