Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{{n}^{2}+3n}{4}$，n∈N⁺．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=4${\;}^{{a}_{n}}$-4a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{{n}^{2}+3n}{4}$，n∈N⁺．利用遞推關(guān)系即可得出．
（2）b_n=4${\;}^{{a}_{n}}$-4a_n=2ⁿ⁺¹-2（n+1），利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{{n}^{2}+3n}{4}$，n∈N⁺．
∴n=1時(shí)，a₁=S₁=1．
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}+3n}{4}$-$\frac{（n-1）^{2}+3（n-1）}{4}$=$\frac{n+1}{2}$．n=1時(shí)也成立．
∴a_n=$\frac{n+1}{2}$．
（2）b_n=4${\;}^{{a}_{n}}$-4a_n=2ⁿ⁺¹-2（n+1），
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和=（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）-2（2+3+…+n+1）
=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2×$\frac{n（n+3）}{2}$
=2ⁿ⁺²-4-n²-3n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．