Question

已知曲線D：

x=2 2 cosθ y=2 2 sinθ

與曲線C交于A、B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率為

2

2

的橢圓其交點在x軸上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設M是直線x=-4上上的任一點，以OM為直徑的圓交曲線D于P，Q兩點（O為坐標原點）．若直線PQ與橢圓C交于G，H兩點，交x軸于點E，且

1

2

|PQ|=

(2 2 )2-( 2 )2

=

6

．試求此時弦PQ的長．

Answer 1

分析：（1）圓方程由參數(shù)方程可化為x²+y²=8，交x軸于A(-2

2

，0)，B(2

2

，0)，由此能求出橢圓方程．
（2）設直線x=-4上任一點M（-4，t），則以OM為直徑的圓方程為x²+y²+4x-ty=0．又⊙O方程為x²+y²=8，所以直線PQ方程為4x-ty=-8．由此入手能夠求出弦PQ的長．

解答：解：（1）圓方程由參數(shù)方程可化為x²+y²=8，
交x軸于A(-2

2

，0)，B(2

2

，0)．
依題意，設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，
則a=2

2

，e=

c

a

=

c

2 2

=

2

2

，
得c=2∴b²=a²-c²=8-4=4
∴橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）設直線x=-4上任一點M（-4，t），則以OM為直徑的圓方程為x（x+4）+y（y-t）=0，即x²+y²+4x-ty=0．
又⊙O方程為x²+y²=8，∴直線PQ方程為4x-ty=-8，
令y=0，得x=-2，∴點E的坐標為（-2，0）．
由

4x-ty=-8 x2 8 + y2 4 =1

得（t²+32）y²-16ty-64=0
設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
則y1+y2=

16t

t2+32

①
y1•y2=-

64

t2+32

②
又

EG

=(x1+2，y1)，

HE

=(-2-x2，-y2)，

EG

=3

HE

∴y₁=-3y₂③
由①②③解得 t=±4
∴PQ方程：x+y=-2或x-y=-2
∴圓心O到x+y=-2或x-y=-2的距離d=

|2|

2

=

2

∴

1

2

|PQ|=

(2 2 )2-( 2 )2

=

6

∴|PQ|=2

6

即弦PQ的長為2

6

．

點評：本題考查橢圓的方程的求法和求弦長的方法，解題時要認真審題，注意參數(shù)方程的轉(zhuǎn)化，靈活運用橢圓的性質(zhì)，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．