Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）+mx（x＞-1）．
（Ⅰ）若f（x）在x=1的切線平行于x軸，求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）已知結(jié)論：對任意-1＜a＜b，存在x₀∈（a，b），使得f′（x₀）=

f(b)-f(a)

b-a

，求證：函數(shù)g（x）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

（x₁-x）+f（x₁）（其中-1＜x₁＜x₂）對任意x₁＜x＜x₂，都有f（x）＞g（x）；
（Ⅲ）已知正數(shù)λ₁，λ₂滿足λ₁+λ₂=1，求證：對任意-1＜x₁＜x₂，都有f（λ₁x₁+λ₂x₂）＞λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）在x=1的切線平行于x軸，可得f′（1）=

1

2

+m=0，即可求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）根據(jù)f″（x）=-

1

(x+1)2

＜0，可得（x）=ln（x+1）+mx是下凸函數(shù)，結(jié)合函數(shù)g（x）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

（x₁-x）+f（x₁），即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）利用下凸函數(shù)的定義“f（x）是定義在閉區(qū)間[a，b]上的函數(shù)，若任意x，y∈[a，b]和任意λ∈（0，1），有f（λx+（1-λ）y）≤λf（x）+（1-λ）f（y）成立”進(jìn)行證明即可．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=ln（x+1）+mx，
∴f′（x）=

1

x+1

+m，
∵f（x）在x=1的切線平行于x軸，
∴f′（1）=

1

2

+m=0，
∴m=-

1

2

；
（Ⅱ）證明：∵f（x）=ln（x+1）+mx，
∴f′（x）=

1

x+1

+m，
∴f″（x）=-

1

(x+1)2

＜0，
∴f（x）=ln（x+1）+mx是下凸函數(shù)，
∵函數(shù)g（x）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

（x₁-x）+f（x₁）（其中-1＜x₁＜x₂），
∴對任意x₁＜x＜x₂，都有f（x）＞g（x）；
（Ⅲ）證明：根據(jù)下凸函數(shù)的定義“f（x）是定義在閉區(qū)間[a，b]上的函數(shù)，若任意x，y∈[a，b]和任意λ∈（0，1），有f（λx+（1-λ）y）≤λf（x）+（1-λ）f（y）成立”
取x=x₁，y=x₂，λ=λ₁，1-λ=1-λ₁=λ₂，而任意正數(shù)λ₁，λ₂，λ₁+λ₂=1，x₁、x₂∈（a，b）
得不等式f（λ₁x₁+λ₂x₂）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）對于任意的x₁，x₂∈（a，b）恒成立．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用下凸函數(shù)的定義證明不等式，屬于難題．