Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c和“偽二次函數(shù)”g（x）=ax²+bx+clnx（a、b、c∈R，abc≠0），
（I）證明：只要a＜0，無論b取何值，函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù)；
（Ⅱ）在二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c圖象上任意取不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，記直線AB的斜率為k，（i）求證：k=f′（x）；（ii）對于“偽二次函數(shù)”g（x）=ax²+bx+clnx，是否有（i）同樣的性質(zhì)？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，證明函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)定義，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算求k，并證明“偽二次函數(shù)”g（x）=ax²+bx+clnx，是否有（i）同樣的性質(zhì)．
解答：解：（I）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），要使函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)總為增函數(shù)，
則恒成立，①--------（1分）
當(dāng)x＞0時恒成立，則2ax²+bx+c＞0 ②
因?yàn)閍＜0，由二次函數(shù)的性質(zhì)，②不可能恒成立．
則函數(shù)g（x）不可能總為增函數(shù)．--------（4分）
（II）（i）=a（x₂+x₁）+b=2ax+b，--------（6分）
由f'（x）=2ax+b，所以f'（x）=2ax+b，…..（7分）  
則k=f′（x）．--------（7分）
（ii）不妨設(shè)x₂＞x₁，對于“偽二次函數(shù)”：g（x）=ax²+bx+clnx，
=，③--------（9分）
由（�。┲孝僦�，
如果有（ⅰ）的性質(zhì)，則g'（x）=k，④，
比較③④兩式得，c≠0，
即：--------（12分）
不妨令，則，即⑤，
設(shè)，則，
∴s（t）在（1，+∞）上遞增，∴s（t）＞s（1）=0．
∴⑤式不可能成立，④式不可能成立，即g'（x）≠k．--------（14分）
∴“偽二次函數(shù)”g（x）=ax²+bx+clnx，不具有（�。┑男再|(zhì)．--------（15分）
點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．