Question

8．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦點分別為F₁、F₂，離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，P為橢圓E上的任意一點（不含長軸端點），且△PF₁F₂面積的最大值為1．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知直x-y+m=0與橢圓E交于不同的兩點A，B，且線AB的中點不在圓${x^2}+{y^2}=\frac{5}{9}$內(nèi)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知列關于a，b，c的方程，聯(lián)立方程求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系求得AB的中點坐標，再由AB的中點不在圓${x^2}+{y^2}=\frac{5}{9}$內(nèi)結(jié)合判別式可得m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又a²=b²+c²，且${（{s_{△p{F_1}F{\;}_2}}）_{max}}=\frac{1}{2}×2c×b=1$，
聯(lián)立解得：$a=\sqrt{2}，b=1$，c=1．
∴橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{x-y+m=0}\end{array}\right.$，消去y整理得：3x²+4mx+2m²-2=0．
則△=16m²-12（2m²-2）=8（-m²+3）＞0，解得$-\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4m}{3}$，
${y}_{1}+{y}_{2}={x}_{1}+{x}_{2}+2m=-\frac{4m}{3}+2m=\frac{2m}{3}$，即AB的中點為（$-\frac{2m}{3}，\frac{m}{3}$）．
又AB的中點不在圓${x^2}+{y^2}=\frac{5}{9}$內(nèi)，
∴$\frac{4{m}^{2}}{9}+\frac{{m}^{2}}{9}=\frac{5{m}^{2}}{9}≥\frac{5}{9}$，解得：m≤-1或m≥1．
綜上可知，$-\sqrt{3}＜m≤-1$或1$≤m＜\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關系的應用，是中檔題．