Question

已知函數(shù)f(x)=

ex

a

+

a

ex

(a＞0)是定義在R上的偶函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷并用單調(diào)性定義證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（3）求不等式f（x²-x+2）-f（4x-2）＞0的解集．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)是偶函數(shù)，建立方程f（-x）=f（x），即可求a．（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明．（3）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系進行求解．

解答：解：（1）若函數(shù)f(x)=

ex

a

+

a

ex

(a＞0)是定義在R上的偶函數(shù)．
∴f（-x）=f（x），即

e-x

a

+

a

e-x

=

ex

a

+

a

ex

，
整理得e^-x-e^x=a²e^-x-a²e^x，
則

a2=1 -a2=-1

，
∴a²=1，解得a=1或a=-1（舍去）．
（2）由（1）知a=1，則f（x）=e^x+e^-x在（0，+∞）上的是增函數(shù)．
證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=ex1+e-x1-(ex2+e-x2)=ex1-ex2+e-x1-e-x2=(ex1-ex2)+

ex2-ex1

ex1?ex2

=(ex1-ex2)?

ex1?ex2-1

ex1?ex2

，
∵0＜x₁＜x₂，
∴ex11，
∴ex1-ex20，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（3）由f（x²-x+2）-f（4x-2）＞0得f（x²-x+2）＞f（4x-2），
∵x²-x+2=（x-1）²+1＞0，函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)．
∴不等式f（x²-x+2）＞f（4x-2），
等價為f（x²-x+2）＞f（|4x-2|），
即x²-x+2＞|4x-2|，
∴當4x-2≥0時，即x≥

1

2

時，x²-x+2＞4x-2，即x²-5x+4＞0，解得x＞4或x＜1，此時x＞4．
當4x-2＜0時，即x＜

1

2

時，x²-x+2＞-（4x-2），即x²-3x＞0，解得x＞3或x＜0，此時x＜0．
綜上不等式的解為x＞4或x＜0．
∴不等式的解集為{x|x＞4或x＜0}．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的證明，以及利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式，綜合性較強，考查學生的運算能力．