Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，且AD=BC，AB⊥AC，AB=AC=2，PA⊥平面ABCD，且E是BC中點，四面體P-BCA的體積為．
（I）求異面直線AE與PC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求點D到平面PBA的距離；
（Ⅲ）棱PC上是否存在點F，使DF⊥AC？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）以AB為x軸，以AC為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標系，由題設知，，由此能求出異面直線AE與PC所成角的余弦值．
（Ⅱ）由底面ABCD是梯形，AD∥BC，且AD=BC，AB⊥AC，AB=AC=2，知，故，由平面PBA的法向量，能求出點D到平面PBA的距離．
（Ⅲ）設棱PC上是存在點F，使DF⊥AC時=t，由，知，由此能導出棱PC上是存在點F，使DF⊥AC，此時=3．
解答：解：（I）以AB為x軸，以AC為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標系，
∵四棱錐P-ABCD中，AB=AC=2，PA⊥平面ABCD，E是BC中點，
∴E（1，1，0），C（0，2，0），
∵四面體P-BCA的體積為，
∴，∴AP=4，∴P（0，0，4），
∴，，
設異面直線AE與PC所成角為α，
則cosα=|cos＜，＞|=||=||=．
（Ⅱ）∵底面ABCD是梯形，AD∥BC，且AD=BC，AB⊥AC，AB=AC=2，
∴，=，
∴，∴，
∵平面PBA的法向量，
∴點D到平面PBA的距離d===．
（Ⅲ）設棱PC上是存在點F，使DF⊥AC時=t，
∵，∴，
∴=（）+（0，2t，-4t）=（），
∵，，
∴0+4t-3+0=0，t=，
∴=3．
故棱PC上是存在點F，使DF⊥AC，此時=3．
點評：本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，點到平面的距離的計算，探索線段上點的存在性．綜合性強，難度大，有一定的探索性，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．