Question

等差數(shù)列{a_n} 中，a₁=1，前n項(xiàng)和S_n滿足條件

S2n

Sn

=4，n=1，2，…，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式和S_n；
（Ⅱ）記b_n=a_n•2^n-1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由

S2n

Sn

=4得

a1+a2

a1

=4，求出第二項(xiàng)以及公差；即可求出其通項(xiàng)公式以及S_n；
（Ⅱ）直接利用上面的結(jié)論求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法即可求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
由

S2n

Sn

=4得

a1+a2

a1

=4，
所以a₂=3a₁=3且d=a₂-a₁=2，
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
Sn=

n(a1+an)

2

=

n(1+2n-1)

2

=n2
（Ⅱ）由b_n=a_n•2^n-1，得b_n=（2n-1）•2^n-1．
所以T_n=1+3•2¹+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1       ①
2T_n=2+3•2²+5•2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ     ②
①-②得：-T_n=1+2•2+2•2²+…+2•2^n-1-（2n-1）•2ⁿ
=2（1+2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ-1
=2×

1×(1-2n)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ-1
=2ⁿ•（3-2n）-3．
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列求和的錯(cuò)位相減，錯(cuò)位相減法適用于通項(xiàng)為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列．此方法是數(shù)列求和部分高考考查的重點(diǎn)及熱點(diǎn)．