Question

【題目】如圖，在三棱椎P﹣ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2 ．

（1）求證：平面ABC⊥平面APC．
（2）若動點M在底面三角形ABC內（包括邊界）運動，使二面角M﹣PA﹣C的余弦值為 ，求此時∠MAB的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AC中點O，連結OP，OB，

∵AP=CP，∴OP⊥OC，

∵在三棱椎P﹣ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2 ，

∴OP=2 ，OB=2，PB=4，∴PB2=OP2+OB2，△POB是直角三角形，

∴OP⊥OB，

又OC與OB交于點O，∴OP⊥平面APC．

（2）解：以O為坐標原點，OB，OC，OP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

A（0，﹣2，0），B（2，0，0），P（0，0，2 ），

平面PAC的法向量 =（1，0，0），

設平面PAM的法向量 =（x，y，z），M（m，n，0），

∴ =（0，2，2 ）， =（m，n+2，0），

則 ，取z=﹣1，得 =（ ），

∵二面角M﹣PA﹣C的余弦值為 ，

∴|cos＜ ＞|= = = ，

整理，得（n+2）2=9m2，

∴n+2=3m或n+2=﹣3m（舍），

∴cos∠MAB= = = = ．

【解析】（1）取AC中點O，連結OP，OB，推導出OP⊥OC，OP⊥OB，由此能證明OP⊥平面APC．（2）以O為坐標原點，OB，OC，OP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出∠MAB的余弦值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．