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12.已知fx=x3mxlnx2+1mmR,方程f(x)=0有3個不同的根.
(Ⅰ)求實數(shù)m的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在實數(shù)m,使得f(x)在(0,1)上恰有兩個極值點x1,x2且滿足x2=2x1,若存在,求實數(shù)m的值;若不存在,說明理由.

分析 (Ⅰ)根據(jù)f(x)=0,得到關于m的不等式,解出m的范圍即可;
(Ⅱ)求導數(shù),換元,存在t1∈(0,m2),使得g(t1)=0,另外有m∈(m2,1),使得g(m)=0,再利用反證法,即可得出結論.

解答 解:(Ⅰ)由f(x)=0得:{x3mx=0x2+1m0或ln(x2+1-m)=0,
可得{x=01m0{x2=mm0,
方程f(x)=0有3個不同的根,
從而0<m<1;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:0<m<1,
f′(x)=(3x2-m)ln(x2+1-m)+2x2x2mx2+1m,
令x2=t,設gt=3tmlnt+1m+2ttmt+1m,
∴g(0)=-mln(1-m)>0,∵0<m<1,
∴2-m>1,∴g(1)>0.g(a)=0,
gm2=m2ln1m2+mm21m2=m2ln1m2m22m,
∵0<m<1,∴g(m2)<0
∴存在t1∈(0,m2),使得g(t1)=0,另外有m∈(m2,1),使得g(a)=0
假設存在實數(shù)m,使得f(x)在(0,1)上恰有兩個極值點x1,x2,且滿足x2=2x1
則存在x1∈(0,m2),使得f′(x1)=0,另外有f′(m)=0,即x2=m,
∴x1=m2,∴f′(m2)=0,即(1-34m)ln(1-34m)+32m=0 (*)
設h(m)=(1-34m)ln(1-34m)+32m,
∴h′(a)=-34mln(1-34m)+34,
∵0<m<1,∴h′(m)>0,
∴h(m)在(0,1)上是增函數(shù)
∴h(m)>h(0)=0
∴方程(*)無解,
即不存在實數(shù)m,使得f(x)在(0,1)上恰有兩個極值點x1,x2,且滿足x2=2x1

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用,考查函數(shù)的單調性,考查函數(shù)的極值,考查反證法的運用,有難度.

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