分析 (Ⅰ)根據(jù)f(x)=0,得到關于m的不等式,解出m的范圍即可;
(Ⅱ)求導數(shù),換元,存在t1∈(0,m2),使得g(t1)=0,另外有m∈(m2,1),使得g(m)=0,再利用反證法,即可得出結論.
解答 解:(Ⅰ)由f(x)=0得:{x3−mx=0x2+1−m>0或ln(x2+1-m)=0,
可得{x=01−m>0或{x2=mm>0,
方程f(x)=0有3個不同的根,
從而0<m<1;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:0<m<1,
f′(x)=(3x2-m)ln(x2+1-m)+2x2(x2−m)x2+1−m,
令x2=t,設g(t)=(3t−m)ln(t+1−m)+2t(t−m)t+1−m,
∴g(0)=-mln(1-m)>0,∵0<m<1,
∴2-m>1,∴g(1)>0.g(a)=0,
g(m2)=m2ln(1−m2)+m•(−m2)1−m2=m2ln(1−m2)−m22−m,
∵0<m<1,∴g(m2)<0
∴存在t1∈(0,m2),使得g(t1)=0,另外有m∈(m2,1),使得g(a)=0
假設存在實數(shù)m,使得f(x)在(0,1)上恰有兩個極值點x1,x2,且滿足x2=2x1,
則存在x1∈(0,√m2),使得f′(x1)=0,另外有f′(√m)=0,即x2=√m,
∴x1=√m2,∴f′(√m2)=0,即(1-34m)ln(1-34m)+32m=0 (*)
設h(m)=(1-34m)ln(1-34m)+32m,
∴h′(a)=-34mln(1-34m)+34,
∵0<m<1,∴h′(m)>0,
∴h(m)在(0,1)上是增函數(shù)
∴h(m)>h(0)=0
∴方程(*)無解,
即不存在實數(shù)m,使得f(x)在(0,1)上恰有兩個極值點x1,x2,且滿足x2=2x1.
點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用,考查函數(shù)的單調性,考查函數(shù)的極值,考查反證法的運用,有難度.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (1,2) | B. | (-1,0) | C. | (-2,-1) | D. | (-6,-1) |
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A. | 28π | B. | 32π | C. | 36π | D. | 48π |
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