給定拋物線C：y2=4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)．設(shè)l的斜率為1，則
.
OA
與
.
OB
夾角為
 
．
分析：先根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線l的方程，代入拋物線方程消去x，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理求得y1+y2和y1y2的值，進(jìn)而直線方程求得x1x2值然后利用平面向量的運(yùn)算法則求得
OA
•
OB
和|OA|•|OB|的值，進(jìn)而向量的數(shù)量積的計算求得cos＜
OA
，
OB
＞的值，最后求得
OA
與
OB
夾角．
解答：解：拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），直線l的方程為：x=y+1；
將其代入拋物線方程得：y2-4y-4=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則有y1+y2=4，y1y2=-4，
又x1=
1
4
y12，x2=
1
4
y22，
∴x1x2=
1
16
（y1y2）2=1．
OA
•
OB
=（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2=-3．
|OA|•|OB|=
x
2
1
+
y
2
1
•
x
2
2
+
y
2
2
=
(x1x2) 2+( y1y2)  2+
1
16
(y1y2) 2[(y1+y2) 2-2y1y2]    
=
41
，
∴cos＜
OA
，
OB
＞=
OA
•
OB
|
OA
|• |
OB
|
=-
3
41
41

故
OA
與
OB
夾角為π-arccos
3
41
41
．
故答案為：π-arccos
3
41
41
．
點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)和平面向量的計算．在研究形如y2=2px的拋物線與直線的有關(guān)問題時，設(shè)直線方程為x=my+b的形式，不僅可以簡化計算，有時還可以避免對直線斜率是否存在的討論．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給定拋物線C：y2=4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，記O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求
OA
•
OB
的值；
（2）設(shè)
AF
=λ
FB
，當(dāng)三角形OAB的面積S∈[2，
5
]時，求λ的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給定拋物線C：y2=4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）設(shè)l的斜率為1，求
OA
與
OB
夾角的大小；
（Ⅱ）設(shè)
FB
=λ
AF
，若λ∈[4，9]，求l在y軸上截距的變化范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給定拋物線C：y2=4x，F(xiàn)是其焦點(diǎn)，過F的直線l：y=k（x-1），它與C相交于A、B兩點(diǎn)．如果
FB
=λ
AF
且λ∈[
1
16
，
1
4
]．那么k的變化范圍是（　　）
A、[
8
15
，
4
3
]
B、[-
4
3
，-
8
15
]
C、[
8
15
，
4
3
]∪[-
4
3
，-
8
15
]
D、（-∞，-
4
3
]∪[
8
15
，+∞）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給定拋物線c：y2=4x，F(xiàn)是c的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與c相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）設(shè)l的斜率為1，求
OA
與
OB
夾角的余弦值；
（2）設(shè)
FB
=λ
AF
，若λ∈[4，9]，求l在y軸上的截距的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案