Question

已知函數(shù)，，且在點(diǎn)

處的切線方程為.

（1）求的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）設(shè)為兩曲線，的交點(diǎn)，且兩曲線在交點(diǎn)處的切線分別為.若取，試判斷當(dāng)直線與軸圍成等腰三角形時(shí)值的個(gè)數(shù)并說(shuō)明理由.

 

Answer 1

（1） ；（2） ；（3）2個(gè)

【解析】

試題分析：（1）由函數(shù)，在點(diǎn)處的切線方程為.所以對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)斜率為1以及過(guò)點(diǎn)（1,0）兩個(gè)條件即可求出結(jié)論.

（2）由函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，并令可解得兩個(gè)根，由于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，的根在內(nèi)有且僅有一個(gè)根.所以通過(guò)分類(lèi)討論即可求的取值范圍.

（3）兩曲線在交點(diǎn)處的切線分別為.若取，當(dāng)直線與軸圍成等腰三角形時(shí).通過(guò)求導(dǎo)求出兩函數(shù)的切線的斜率，即可得到這兩斜率不可能是相等，所以依題意可得到兩切線傾斜角有兩倍的關(guān)系，再通過(guò)解方程和函數(shù)的單調(diào)性的判斷即可得到結(jié)論.

（1），∴，又，

∴． 3分

（2）；

∴

由得，

∴或． 5分

∵，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)． 6分

若，即，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值點(diǎn)，

若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值點(diǎn)，

綜上，的取值范圍是． 8分

（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)兩切線的傾斜角分別為，

則，

∵， ∴均為銳角， 9分

當(dāng)，即時(shí)，若直線能與軸圍成等腰三角形，則；當(dāng)，即時(shí)，若直線能與軸圍成等腰三角形，則．

由得，，

得，即，

此方程有唯一解，直線能與軸圍成一個(gè)等腰三角形． 11分

由得， ，

得，即，

設(shè)，，

當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)遞增，則在單調(diào)遞

增，由于，且，所以，則，

即方程在有唯一解，直線能與軸圍成一個(gè)等腰三角形．

因此，當(dāng)時(shí)，有兩處符合題意，所以直線能與軸圍成等腰三角形時(shí)，值的個(gè)數(shù)

有2個(gè)． 14分

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.函數(shù)的極值.3.函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.4.分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.5.等價(jià)變換的數(shù)學(xué)思想.